Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: cerchio di Mohr · tensioni principali

Esercizi gratuiti su Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: tensioni principali, tensione tangenziale massima e direzione principale, tensione su un piano inclinato.

Esercizio gratuitoFacile
σx​ = 90σy​ = −20MPaelemento principale

In un punto di un componente caricato le tensioni principali nel piano sono σ₁ = 90 MPa e σ₂ = −20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σavg che agisce sui piani di massima tensione tangenziale nel piano.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Esercizio successivo →
Esercitati su Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni gratisEsercitati su Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni ora5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.

Su cosa ti eserciti

  1. Faciletensioni principali
  2. Mediatensione tangenziale massima e direzione principale
  3. Difficiletensione su un piano inclinato

Come risolvere gli esercizi di Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

  1. Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
  4. Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Errori comuni

  • Usare θ invece di 2θ nelle equazioni di trasformazione.
  • Sommare (σx − σy)/2 e τxy invece di combinarli con Pitagora.
  • Sbagliare la convenzione dei segni per la tensione tangenziale.

Formule chiave

Centro
C = (σx + σy)/2
Raggio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensioni principali
σ1,2 = C ± R
Direzione principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Piano inclinato
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Impara Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni da zero

Prima di questo: Tensione e deformazione assiale

1Perché la tensione dipende dalla direzione

Nella lezione sul carico assiale, la tensione era un solo numero: forza diviso area. Ma la tensione in un punto dipende dalla direzione del taglio che si considera.

Torci un pezzo di gesso finché si spezza. Si rompe lungo una spirale a 45°, non dritto di traverso. Su quel piano a 45° la tensione di trazione è massima, e il gesso è debole a trazione.

Per descrivere la tensione in un punto, gli ingegneri disegnano un quadratino, l’elemento di tensione, con le tensioni sulle sue facce:

σx​σy​τxy​xy
  • σx e σy sono tensioni normali, perpendicolari alle facce. Positivo significa trazione (frecce verso l’esterno), negativo significa compressione.
  • τxy è la tensione tangenziale (di taglio), lungo le facce. Tende a trasformare il quadrato in un rombo.

Ruota il quadrato, e le tensioni sulle sue facce cambiano. Questa lezione mostra come trovarle per ogni direzione e quali direzioni sono le più pericolose.

Autoverifica In un punto, σx = −40 MPa. Che cosa significa?
  1. Una compressione di 40 MPa nella direzione x
  2. Una compressione di 40 MPa nella direzione y
  3. Una tensione tangenziale di 40 MPa
  4. Una trazione di 40 MPa nella direzione x

Risposta: Una compressione di 40 MPa nella direzione x. Con la solita convenzione dei segni la trazione è positiva, quindi una σx negativa è una compressione, che agisce sulle facce normali a x.

2Cerchio di Mohr

Il cerchio di Mohr è un’immagine di tutte le direzioni insieme. Ogni punto del cerchio è un possibile taglio attraverso il punto nel pezzo.

Disegna la tensione normale σ verso destra e la tensione tangenziale τ verso l’alto. Poi riporta due punti:

  • il punto x in (σx, τxy): le tensioni sulla faccia normale a x,
  • il punto y in (σy, −τxy): le tensioni sulla faccia normale a y.

Il cerchio passa per entrambi i punti. Il suo centro C sta sull’asse σ, a metà tra loro. Il raggio R segue da Pitagora:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Dove il cerchio incontra l’asse σ, la tensione tangenziale è zero. Questi due valori sono le tensioni principali, la tensione normale massima e minima nel punto. La sommità del cerchio è la massima tensione tangenziale nel piano:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Autoverifica σx = 50 MPa, σy = 10 MPa e τxy = 15 MPa. Quanto vale σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Risposta: 55 MPa. C = 30 MPa e R = √(20² + 15²) = 25 MPa, quindi σ1 = 55 MPa. 65 somma 20 + 15 invece di usare Pitagora; 50 ignora la tensione tangenziale.

3Angoli: sul cerchio si raddoppiano

Ruotare l’elemento di un angolo θ sposta il suo punto sul cerchio di Mohr di 2θ, nello stesso verso. Il verso antiorario è positivo.

La direzione di σ1 è l’angolo θp dall’asse x, che si ricava da:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Attenzione al quadrante. Se σx − σy è negativo, aggiungi 180° a 2θp quando τxy > 0, oppure sottrai 180° quando τxy < 0. Poi dividi per due.

I piani di massimo taglio stanno a 45° dalle direzioni principali (90° sul cerchio).

Per un piano la cui normale è ruotata di θ rispetto all’asse x, le tensioni sono:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Autoverifica In un punto, tan 2θp = 1 e σx − σy è positivo. Quanto vale θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Risposta: 22,5°. 2θp = 45°, quindi θp = 22,5°. Rispondere 45° significa dimenticare di dimezzare l’angolo letto dal cerchio. −67,5° è la direzione di σ2, a 90° di distanza.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi σx, σy e τxy con i loro segni: trazione positiva, compressione negativa.
  2. Trova il centro C = (σx + σy)/2.
  3. Trova il raggio R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Tensioni principali: σ1 = C + R e σ2 = C − R. Massima tensione tangenziale nel piano: τmax = R.
  5. Direzioni: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), controlla il quadrante, poi dimezza.
  6. Per un dato piano θ: usa le equazioni di σθ e τθ con 2θ.

Uno schizzo veloce del cerchio, anche approssimativo, ti mostra i segni e quale punto è σ1.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un punto ha σx = 80 MPa, σy = 20 MPa e τxy = 40 MPa. Trova le tensioni principali, τmax, la direzione θp di σ1 e la tensione normale su un piano ruotato di 45° in senso antiorario.

1

Guarda l’elemento

xy

Entrambe le tensioni normali sono di trazione. La tensione tangenziale è positiva.

2

Centro e raggio

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Tensioni principali e massimo taglio

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Direzione principale

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy è positivo, quindi non serve alcuna correzione: 2θp = 53,1° e θp = 26,6° in senso antiorario da x.

5

Piano ruotato di 45°

Con θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 e sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Controlla il risultato

La somma σx + σy = 100 MPa è uguale a σ1 + σ2 = 100 MPa. Questa somma è la stessa per ogni rotazione, quindi è un controllo rapido.

Inoltre, 90 MPa sta tra σ2 = 0 e σ1 = 100 MPa, come deve essere per ogni tensione normale.

Risposta

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° e σ45° = 90 MPa.

6Errori comuni

  • Sommare direttamente (σx − σy)/2 e τxy. Il raggio le combina con Pitagora.
  • Usare θ invece di 2θ nelle equazioni di trasformazione, oppure dimenticare di dimezzare l’angolo letto dal cerchio.
  • Perdere un segno meno: una tensione di compressione va inserita come numero negativo.
  • Riportare il punto y in (σy, +τxy). Sta in −τxy, dalla parte opposta del centro rispetto a x.
  • Sbagliare il quadrante di 2θp quando σx < σy.
Autoverifica σx = 60 MPa, σy = 0 e τxy = 40 MPa. Qual è la massima tensione tangenziale nel piano?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Risposta: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 somma 30 + 40; 30 ignora la tensione tangenziale; 40 è solo τxy.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: tensioni principali. Date σx, σy e τxy, trova σ1 o σ2. Varianti: taglio puro, oppure una barra assiale tagliata con un angolo.
  • Medio: massimo taglio e direzione principale. Trova τmax = R oppure l’angolo θp, tra −90° e 90°.
  • Difficile: tensione su un piano inclinato. Usa l’equazione di σθ o τθ con 2θ. Le varianti combinano carico assiale e torsione, oppure usano le tensioni principali in una verifica di rottura come von Mises o Tresca.

Scrivi prima C e R. Quasi ogni domanda di questo argomento si risolve con quei due numeri.

Impara passo dopo passo nell’appImpara passo dopo passo nell’app

Esempi svolti

Esempio 1Facile
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

Un punto ha σₓ = 30 MPa e σᵧ = 50 MPa, più una certa tensione tangenziale. Su un elemento ruotato di 30° la tensione normale nella direzione ruotata x′ è 87 MPa. Trova la tensione normale σy′ nella direzione ruotata y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Calcola σy′ (MPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Non ti servono τₓᵧ né le equazioni di trasformazione.
  2. La somma delle tensioni normali su due piani perpendicolari è la stessa per ogni orientamento (il centro del cerchio di Mohr non si sposta).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Primo invariante di tensione

I punti x′ e y′ sono agli estremi opposti di un diametro, quindi la loro media è sempre il centro C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Risposta

σy′ = −7 MPa
Esempio 2Media
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θp dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Calcola θp (°)

Mostra i suggerimenti
  1. Disegna il cerchio di Mohr: punto x in (σₓ, τₓᵧ), punto y in (σᵧ, −τₓᵧ), centro C a metà.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Attenzione al quadrante.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

στxyCσ1​σ2​

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Angolo sull’elemento

θp = −54,22°

Risposta

θp = −54,22°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

Esempio 3Difficile
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 500 mm e spessore di parete di 5 mm contiene gas a una pressione relativa di 2,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 60° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τn| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Calcola |τn| (MPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Tensione circonferenziale σh = pr/t, tensione assiale σa = pr/(2t). Sui piani assiale e circonferenziale non c’è tensione tangenziale.
  2. Tensione tangenziale lungo la cordatura: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Cilindro a parete sottile: tensione circonferenziale σh = pr/t e tensione assiale σa = pr/(2t); queste sono le tensioni principali nella parete.

Tensioni nella parete

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σa) e y in direzione circonferenziale (σh). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Risposta

|τn| = 27,06 MPa

Domande e risposte

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni: di cosa si tratta?

Nella lezione sul carico assiale, la tensione era un solo numero: forza diviso area. Ma la tensione in un punto dipende dalla direzione del taglio che si considera.

Torci un pezzo di gesso finché si spezza. Si rompe lungo una spirale a 45°, non dritto di traverso. Su quel piano a 45° la tensione di trazione è massima, e il gesso è debole a trazione.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
  4. Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni: quali sono gli errori più comuni?
  • Usare θ invece di 2θ nelle equazioni di trasformazione.
  • Sommare (σx − σy)/2 e τxy invece di combinarli con Pitagora.
  • Sbagliare la convenzione dei segni per la tensione tangenziale.
Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni: che cosa si esercita?
  • Facile: tensioni principali
  • Media: tensione tangenziale massima e direzione principale
  • Difficile: tensione su un piano inclinato

Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.

Come funziona l’esercitazione

  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
  • Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
  • I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.

Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Tensione e deformazione assiale

Calcolatrici

Calcolatrice del cerchio di Mohr

Corsi con questo argomento

Scienza delle costruzioniCostruzione di macchineEsercitazione per l’esame FE Mechanical

Altri argomenti di Meccanica

Reazioni vincolari delle traviTelai e macchineTensione e deformazione assialeTorsione degli alberiMoto del proiettileLavoro ed energiaRotazione del corpo rigidoVibrazioni meccanicheMacchine termiche e frigorifereCicli termodinamici a gasContinuità e BernoulliAttrito nei condotti e perdite di caricoPompe e potenza delle pompeConduzione del caloreIngranaggi e rotismi

Scheda di esercizi stampabile

Scheda di esercizi di Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni con soluzioni
Esercitati su Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni gratisEsercitati su Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni ora5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.