Telai e macchine: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cosa sono telai e macchine

In una travatura reticolare ogni asta è una barra rettilinea con cerniere alle due estremità e carichi solo nei nodi, quindi ogni asta è semplicemente tesa o compressa. Un telaio è diverso: almeno un elemento porta forze in tre o più punti, o un carico tra le sue cerniere. Un tale elemento lavora anche a flessione.

In questo telaio a A le gambe AC e BC sono elementi a più forze: ciascuna è caricata nel vincolo, nel tirante e nella cerniera C. Il tirante DE è incernierato a entrambe le estremità e non porta nulla in mezzo. Un telaio che si muove e trasforma una forza in ingresso in una forza in uscita, come una pinza, una leva o un morsetto, si chiama macchina.

2Aste a due forze e forze sulle cerniere

Un elemento caricato solo in due cerniere è un’asta a due forze. Le sue due forze sono uguali, opposte e stanno sulla retta passante per le cerniere. Quindi introduce una sola incognita, il modulo di quella forza, invece di due componenti.

Dove due elementi si incontrano in una cerniera, la cerniera spinge su un elemento con una forza (C_x, C_y) e sull’altro con la forza opposta (−C_x, −C_y). Disegnale così, con gli stessi simboli, in entrambi i diagrammi di corpo libero.

Ogni elemento separato dà tre equazioni: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0. Prendi i momenti rispetto a una cerniera in cui agiscono forze incognite, così entrambe le sue componenti scompaiono.

3Il metodo passo dopo passo

1. Disegna l’intero telaio e trova le reazioni vincolari, se le incognite non sono più di tre.
2. Segna le aste a due forze: le loro forze agiscono lungo la retta tra le loro cerniere.
3. Smonta il telaio e disegna a parte ogni elemento a più forze, con forze sulle cerniere uguali e opposte.
4. Per ogni elemento prendi i momenti rispetto a una cerniera, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0. Alla fine combina le componenti in un modulo: F = √(F_x² + F_y²).

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

5Macchine: pinze, leve e ginocchiere

Per una macchina, disegna una parte e prendi i momenti rispetto al suo perno. La forza sulla cerniera scompare e le forze in ingresso e in uscita si equilibrano:

Una pinza con la mano a 100 mm dal perno e le ganasce a 25 mm moltiplica la forza per 100/25 = 4. Il perno porta poi entrambe le forze: su una metà hanno lo stesso verso da parti opposte del perno, quindi si sommano.

In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ. Ogni biella è un’asta a due forze con forza F/(2 sin θ), e la forza di serraggio è F/(2 tan θ). Più le bielle sono piatte, maggiore è la forza.

6Errori comuni

• Trattare come asta a due forze un elemento con un carico tra le sue cerniere.
• Disegnare una forza su una cerniera nello stesso verso su entrambi gli elementi che collega.
• Usare l’intera forza di un puntone inclinato come sua componente verticale.
• Dare una sola componente quando viene chiesto il modulo di una forza su una cerniera.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: aste a due forze e macchine semplici. Trovi la presa di una pinza o la forza sulla cerniera, la forza nel puntone di una mensola a muro, la forza nel tirante o una reazione vincolare di un telaio a A, o la forza in uscita di una leva a squadra.
• Medio: forze sulle cerniere e leverismi. Trovi la reazione nella cerniera di una mensola o di una leva a squadra, la forza nel tirante per un carico non centrato, la forza di una cerniera su una gamba, la forza in un elemento di un telaio a tre cerniere, o la forza di serraggio di una ginocchiera.
• Difficile: telai a più elementi. Aggiungi un carico uniforme a una mensola, trovi la forza nel cavo o la reazione nella cerniera di un braccio con il proprio peso, la forza sulla cerniera per un carico non centrato, una reazione vincolare con un carico orizzontale, o la forza richiesta da una pressa a ginocchiera.