Travatura: metodo dei nodi: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: travature reticolari · metodo di Ritter · equilibrio dei nodi

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Esercizio gratuitoFacile
ABCDEFGH15 kN25 kN4 × 3 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilesimmetrica
  2. Mediaasimmetrica
  3. Difficilecarico verticale + orizzontale

Come risolvere gli esercizi di Travatura: metodo dei nodi

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Errori comuni

  • Partire da un nodo con tre incognite.
  • Dimenticare le componenti angolari delle aste inclinate.
  • Scambiare trazione e compressione.

Formule chiave

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Impara Travatura: metodo dei nodi da zero

Prima di questo: Reazioni vincolari delle travi

1Che cos’è una travatura reticolare

Una travatura reticolare è un telaio di aste rettilinee collegate alle estremità a formare triangoli. Le vedi nei tetti, nelle gru, nei tralicci e in molti ponti.

ACBPAy​Cy​

Le aste si chiamano elementi e i punti di collegamento nodi. Nel modello semplice, ogni nodo è una cerniera e i carichi agiscono solo nei nodi.

Allora ogni asta è tirata o spinta solo lungo la propria lunghezza. Porta un unico sforzo assiale:

  • trazione: l’asta è tirata e si allunga. La contiamo come positiva.
  • compressione: l’asta è spinta e si accorcia. La contiamo come negativa.

Si usano i triangoli perché un triangolo non può cambiare forma senza cambiare la lunghezza di un lato. Questo rende la travatura rigida usando poco materiale.

Autoverifica Lo sforzo in un’asta risulta −12 kN. Che cosa significa?
  1. Il carico punta verso l’alto
  2. L’asta non porta alcuno sforzo
  3. L’asta è in compressione, 12 kN
  4. L’asta è in trazione, 12 kN

Risposta: L’asta è in compressione, 12 kN. Con la trazione contata positiva, uno sforzo negativo è compressione: l’asta è spinta e si accorcia.

2Forze in un nodo

Ogni nodo è in equilibrio da solo. Quindi in ogni nodo valgono due equazioni:

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Due equazioni significano che in un nodo puoi trovare al massimo due sforzi incogniti nelle aste. Parti sempre da un nodo in cui le incognite sono solo due.

Disegna ogni sforzo incognito come trazione: una freccia che punta lontano dal nodo, lungo l’asta. Se il risultato è negativo, l’asta è in compressione.

FAB​FAC​Ay​αA

Lo sforzo di un’asta inclinata ha due componenti. Se l’asta forma un angolo α con l’orizzontale:

Fx = F · cos α Fy = F · sin α

Raramente ti serve l’angolo stesso. Dalla proiezione orizzontale a dell’asta, dall’altezza h e dalla lunghezza ℓ = √(a² + h²): cos α = a/ℓ e sin α = h/ℓ.

Autoverifica Un’asta si sviluppa per 4 m in orizzontale e 3 m in verticale, quindi è lunga 5 m. Porta 10 kN. Qual è la componente verticale?
  1. 10 kN
  2. 6 kN
  3. 7,5 kN
  4. 8 kN

Risposta: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, quindi Fy = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN è la componente orizzontale (cos α = 0,8).

3Il metodo passo dopo passo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’intera travatura: ΣMA = 0 dà Cy, poi ΣFy = 0 dà Ay (e ΣFx = 0 dà Ax se c’è un carico orizzontale).
  2. Scegli un nodo con al massimo due sforzi incogniti, di solito un nodo di appoggio.
  3. Disegna il nodo con tutti gli sforzi incogniti come trazione (lontano dal nodo).
  4. Scrivi ΣFy = 0. Se solo un’asta ha una componente verticale, ti dà direttamente quello sforzo.
  5. Scrivi ΣFx = 0 per il secondo sforzo.
  6. Passa al nodo successivo, usando gli sforzi che già conosci. Un risultato negativo significa compressione.

Il metodo delle sezioni (di Ritter) è un’alternativa: taglia le aste che ti servono e prendi i momenti rispetto a un punto in cui si incontrano le altre aste tagliate.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

La travatura ha una luce di 8 m ed è alta 3 m, con il nodo B sopra la mezzeria. Un carico verticale di 30 kN agisce in B. Trova gli sforzi nelle aste AB e AC.

1

Guarda la travatura

ACB30 kN8 m3 m4 m

A è una cerniera e C è un carrello. Ogni asta inclinata ha una proiezione orizzontale di 4 m e un’altezza di 3 m, quindi la sua lunghezza è √(4² + 3²) = 5 m.

2

Reazioni vincolari

La travatura e il carico sono simmetrici, quindi ogni appoggio porta metà del carico:

Ay = Cy = 30 / 2 = 15 kN
3

Nodo A: equilibrio verticale

FAB​FAC​15 kNαA

sin α = 3/5 = 0,6 e cos α = 4/5 = 0,8. Solo AB ha una componente verticale in A.

15 + FAB · 0,6 = 0 ⇒ FAB = −25 kN

Negativo, quindi AB è in compressione.

4

Nodo A: equilibrio orizzontale

FAC + FAB · 0,8 = 0 ⇒ FAC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Positivo, quindi AC è in trazione. Lega insieme i piedi della travatura.

5

Controlla il risultato

Per simmetria anche FBC = −25 kN. Nel nodo B le due aste spingono verso l’alto con 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, che equilibra il carico di 30 kN.

Risposta

FAB = −25 kN (compressione) e FAC = 20 kN (trazione).

5Errori comuni

  • Partire da un nodo con tre sforzi incogniti. Due equazioni non possono risolvere tre incognite.
  • Scambiare seno e coseno. Controlla quale lato del triangolo è verticale.
  • Disegnare alcune incognite come compressione e altre come trazione, e poi leggere male i segni. Disegnale tutte come trazione.
  • Dimenticare la reazione vincolare nel nodo, o darle la direzione sbagliata.
  • Dimenticare il carico orizzontale nell’equazione dei momenti per le reazioni.
Autoverifica Nel carrello C la reazione è Cy = 9 kN verso l’alto. L’asta BC è l’unica con una componente verticale lì, con sin γ = 0,6. Quanto vale FBC?
  1. +15 kN (trazione)
  2. −11,25 kN (compressione)
  3. −15 kN (compressione)
  4. −5,4 kN (compressione)

Risposta: −15 kN (compressione). ΣFy = 0: 9 + FBC·0,6 = 0, quindi FBC = −15 kN. +15 kN perde il segno; −5,4 moltiplica per sin γ invece di dividere; −11,25 usa cos γ = 0,8.

6Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: simmetrica. B è sopra la mezzeria e il carico è verticale, come nell’esempio. Le reazioni sono metà del carico ciascuna.
  • Medio: asimmetrica. B non è sopra la mezzeria, quindi AB e BC hanno angoli diversi. Trova prima Cy dai momenti rispetto ad A.
  • Difficile: un carico verticale e uno orizzontale in B. La cerniera in A ha anche una reazione orizzontale. Il nodo C è comunque il punto di partenza più semplice, perché il carrello dà solo Cy.

Ti viene chiesto lo sforzo di un’asta: AB, BC o AC. Dai la trazione come positiva e la compressione come negativa.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
ABBCACACB45 kN6 m3 m2 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 3 m da Acarico verticale = 45 kN

Calcola FAB (kN)

Mostra i suggerimenti
  1. Prima trova le reazioni vincolari dall’intera travatura.
  2. Nel nodo A solo l’asta AB ha una componente verticale. ΣFy = 0 dà direttamente FAB.
  3. Ay = 22,5 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Risposta

FAB = −40,56 kN (compressione)
Esempio 2Media
ABBCACACB45 kN6 m1 m2 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 1 m da Acarico verticale = 45 kN

Calcola FBC (kN)

Mostra i suggerimenti
  1. Prima trova le reazioni vincolari dall’intera travatura.
  2. Passa al nodo C. Lì solo BC ha una componente verticale, quindi inizia con ΣFy = 0.
  3. Cy = 7,5 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Risposta

FBC = −20,19 kN (compressione)
Esempio 3Difficile
ABBCACACB60 kN30 kN5 m1 m3 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 3 mB è a 1 m da Acarico verticale = 60 kNcarico orizzontale = 30 kN ←

Calcola FBC (kN)

Mostra i suggerimenti
  1. Prima trova le reazioni vincolari dall’intera travatura.
  2. Passa al nodo C. Lì solo BC ha una componente verticale, quindi inizia con ΣFy = 0.
  3. Cy = −6 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 − 30·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −6 = 66 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6/0,6 = 10 kN

Risposta

FBC = 10 kN (trazione)

Domande e risposte

Travatura: metodo dei nodi: di cosa si tratta?

Una travatura reticolare è un telaio di aste rettilinee collegate alle estremità a formare triangoli. Le vedi nei tetti, nelle gru, nei tralicci e in molti ponti.

Le aste si chiamano elementi e i punti di collegamento nodi. Nel modello semplice, ogni nodo è una cerniera e i carichi agiscono solo nei nodi.

Travatura: metodo dei nodi: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Travatura: metodo dei nodi: quali sono gli errori più comuni?
  • Partire da un nodo con tre incognite.
  • Dimenticare le componenti angolari delle aste inclinate.
  • Scambiare trazione e compressione.
Travatura: metodo dei nodi: che cosa si esercita?
  • Facile: simmetrica
  • Media: asimmetrica
  • Difficile: carico verticale + orizzontale

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