Moto nei canali a pelo libero (Manning): esercizi con soluzioni passo passo

Q: Moto nei canali a pelo libero (Manning): come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Q: Moto nei canali a pelo libero (Manning): che cosa si esercita?

Facile: velocità in un canale Media: portata Difficile: pendenza richiesta Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.

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Esercizio gratuitoFacile

L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,8 m in un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo largo 1 m (n di Manning = 0,014). La pendenza del fondo è S = 0,0008. Usa l’equazione di Manning in unità SI per trovare la velocità media V.

b = 1 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0008

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Su cosa ti eserciti

Facilevelocità in un canale
Mediaportata
Difficilependenza richiesta

Formule chiave

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

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1Che cos’è il flusso a superficie libera

L’acqua di un fiume, di un canale, di un fosso di drenaggio o di una fognatura non piena scorre con una superficie libera a contatto con l’aria. Questo è il flusso a superficie libera.

Nessuna pompa muove l’acqua. La gravità la tira lungo la pendenza del fondo, e l’attrito con il fondo e con le pareti la trattiene.

Quando queste due azioni si bilanciano, la profondità e la velocità restano uguali lungo il canale. Si chiama moto uniforme, ed è ciò che descrive l’equazione di Manning.

Gli ingegneri la usano per rispondere a tre domande: quanto veloce scorre l’acqua, quanta acqua può portare un canale e quanto deve essere ripido il canale?

Autoverifica Nel moto uniforme a superficie libera, quali due effetti si bilanciano?

Il peso dell’acqua e la sua spinta di galleggiamento
La gravità lungo la pendenza e l’attrito del fondo e delle pareti
La pressione della pompa e l’attrito
La pressione dell’aria e la pressione dell’acqua

Risposta: La gravità lungo la pendenza e l’attrito del fondo e delle pareti. La pendenza del fondo permette alla gravità di spingere l’acqua, e il contorno scabro la rallenta. Quando si bilanciano, profondità e velocità smettono di cambiare.

2Raggio idraulico e perimetro bagnato

L’attrito agisce solo dove l’acqua tocca il canale. Quel contorno, misurato lungo la sezione, è il perimetro bagnato P. La superficie libera tocca l’aria, quindi non conta.

La linea spessa nella figura è P. La parte ombreggiata è l’area di flusso A. Il loro rapporto è il raggio idraulico:

R = A / P

Rettangolo di larghezza b e profondità y: A = b·y e P = b + 2y.
Trapezio con sponde di pendenza z:1 (z in orizzontale per 1 in verticale): A = (b + z·y)·y e P = b + 2y·√(1 + z²).
Tubo circolare pieno o pieno a metà: R = D/4.

Un R grande significa molta acqua con poco contorno, quindi meno attrito per litro e flusso più veloce.

Autoverifica Un canale rettangolare è largo 4 m e l’acqua è profonda 1 m. Qual è il raggio idraulico R?

0,5 m
0,667 m
1 m
4 m

Risposta: 0,667 m. A = 4 · 1 = 4 m² e P = 4 + 2 · 1 = 6 m, quindi R = 4/6 = 0,667 m. Includere la superficie libera in P (P = 8 m) dà 0,5 m, e 1 m è la profondità, non R.

3Equazione di Manning

Nel SI la velocità media del moto uniforme è:

V = (1/n) · R^2/3 · S^1/2

n è il coefficiente di scabrezza di Manning. Il calcestruzzo liscio rifinito vale circa 0,012, la muratura di mattoni 0,015, la terra pulita 0,022, la terra rivestita d’erba 0,03. Più scabro significa n più grande e acqua più lenta.
R è il raggio idraulico in m.
S è la pendenza del fondo in m/m, un numero puro. Un dislivello di 1,5 m per chilometro è S = 1,5/1000 = 0,0015.

La portata è la velocità per l’area di flusso:

Q = A · V

Per trovare la pendenza necessaria a un canale, combina le due e risolvi per S:

S = (n · Q / (A · R^2/3))²

Autoverifica Il fondo di un canale scende di 2 m in 1 km. Quale pendenza S si usa nell’equazione di Manning?

0,0002
0,002
0,02
2

Risposta: 0,002. S = dislivello/lunghezza = 2 m / 1000 m = 0,002. La pendenza non ha unità, quindi i metri devono semplificarsi.

4Il metodo passo dopo passo

Disegna la sezione trasversale e scrivi b, y, z (se trapezoidale), n e S.
Trova l’area di flusso A.
Trova il perimetro bagnato P: fondo più le sponde bagnate, mai la superficie libera.
Raggio idraulico: R = A/P.
Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2.
Se è richiesta la portata: Q = A·V. Se è richiesta la pendenza, usa S = (n·Q/(A·R^2/3))².

Sulla calcolatrice, R^2/3 è R^(2/3), con le parentesi. Calcola R^2/3 e √S separatamente prima di moltiplicare.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

L’acqua scorre in moto uniforme, profonda 1 m, in un canale rettangolare di muratura di mattoni largo 3 m (n di Manning = 0,015). La pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la velocità media V e la portata Q.

Guarda la sezione

È un rettangolo, quindi A = b·y e P = b + 2y.

Area e perimetro bagnato

A = 3 · 1 = 3 m²

P = 3 + 2 · 1 = 5 m

Raggio idraulico

R = A/P = 3/5 = 0,6 m

Allora R^2/3 = 0,6^2/3 = 0,7114.

Equazione di Manning

√S = √0,001 = 0,03162.

V = (1/0,015) · 0,7114 · 0,03162 = 1,50 m/s

Portata

Q = A · V = 3 · 1,50 = 4,50 m³/s

Controlla il risultato

I canali rivestiti di solito lavorano a 1–3 m/s, quindi 1,50 m/s è ragionevole. Un rivestimento in terra più scabro (n = 0,022) darebbe una velocità più bassa a parità di pendenza.

Risposta

V = 1,50 m/s e Q = 4,50 m³/s.

6Errori comuni

Usare la profondità y al posto del raggio idraulico R.
Contare la superficie libera nel perimetro bagnato.
Per un trapezio, considerare ogni sponda lunga y. La sponda bagnata è y·√(1 + z²).
Usare S invece di √S, o dimenticare di elevare al quadrato alla fine quando si ricava S.
Usare una pendenza in m/km come se fosse in m/m.
Dare V quando è richiesta Q: moltiplica per l’area.

Autoverifica Canale rettangolare: b = 4 m, y = 1 m, n = 0,02, S = 0,0016. Qual è la velocità media V?

0,061 m/s
1,26 m/s
1,53 m/s
2,00 m/s

Risposta: 1,53 m/s. R = 4/6 = 0,667 m, quindi V = (1/0,02) · 0,667^(2/3) · 0,04 = 1,53 m/s. Usando la profondità come R si ottengono 2,00 m/s, e includendo la superficie libera in P si ottengono 1,26 m/s.

7Come sono fatte le domande d’esame

Facile: velocità in un canale rettangolare. A volte la pendenza è data come dislivello per chilometro.
Medio: la portata Q, in un canale rettangolare o trapezoidale, oppure in un tubo pieno o pieno a metà (R = D/4).
Difficile: la pendenza del fondo necessaria a un canale per portare una data Q, oppure la pendenza di una fognatura per una data velocità.

Esempio del trapezio: b = 2 m, y = 1 m, sponde con pendenza 2:1, n = 0,022, S = 0,001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m² e P = 2 + 2·1·√5 = 6,47 m, quindi R = 0,618 m.

V = (1/0,022) · 0,618^2/3 · √0,001 = 1,04 m/s, Q = 4 · 1,04 = 4,17 m³/s

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Esempi svolti

Esempio 1Facile

L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1 m in un canale rettangolare in terra pulita largo 2,5 m (n di Manning = 0,022). Il fondo scende di 4 m per chilometro. Usa l’equazione di Manning in unità SI per trovare la velocità media V.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,022dislivello = 4 m/km

Calcola V (m/s)

Mostra i suggerimenti

Trova il raggio idraulico R = A/P della sezione bagnata.
La pendenza è il dislivello diviso per la lunghezza: S = 4/1000.
R = 0,5556 m.

Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Raggio idraulico

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m

R = A/P = 0,5556 m

Pendenza

S = 4/1000 = 0,004

Equazione di Manning

V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 = (1/0,022)·0,5556^2/3·0,004^1/2 = 1,943 m/s

Risposta

V = 1,943 m/s

Esempio 2Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 300 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,0005. Trova la portata Q in m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0005

Calcola Q (m³/s)

Mostra i suggerimenti

Pieno: A = π·D²/4 e P = π·D.
In entrambi i casi R = A/P = D/4 = 0,075 m.
Trova V con Manning, poi Q = A·V.

Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Geometria

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,0005^1/2 = 0,3059 m/s

Portata

Q = A·V = 0,07069·0,3059 = 0,02162 m³/s

Risposta

Q = 0,02162 m³/s

Esempio 3Difficile

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 2,5 m deve convogliare 2,7 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,8 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03

Calcola S (m/m)

Mostra i suggerimenti

Combina Q = A·V con Manning: Q = (1/n)·A·R^2/3·S^1/2.
A = 4,5 m², R = 0,7377 m.
Risolvi per S: S = (n·Q/(A·R^2/3))².

Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Geometria

A = b·y = 2,5·1,8 = 4,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,8 = 6,1 m

R = A/P = 0,7377 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,7/(4,5·0,8164) = 0,02205

S = 0,02205² = 0,0004861

Risposta

S = 0,0004861

Questo corrisponde a un dislivello di 0,4861 m per chilometro.

Domande e risposte

Moto nei canali a pelo libero (Manning): di cosa si tratta?

L’acqua di un fiume, di un canale, di un fosso di drenaggio o di una fognatura non piena scorre con una superficie libera a contatto con l’aria. Questo è il flusso a superficie libera.

Nessuna pompa muove l’acqua. La gravità la tira lungo la pendenza del fondo, e l’attrito con il fondo e con le pareti la trattiene.

Moto nei canali a pelo libero (Manning): come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Moto nei canali a pelo libero (Manning): quali sono gli errori più comuni?

Usa il raggio idraulico R = A/P, non l’altezza d’acqua. L’altezza è una buona stima solo per canali molto larghi.
La superficie libera non fa parte del perimetro bagnato: P = b + 2y.
La pendenza è adimensionale: 4 m su 1000 m danno S = 0,004.

Moto nei canali a pelo libero (Manning): che cosa si esercita?

Facile: velocità in un canale
Media: portata
Difficile: pendenza richiesta

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