Freccia della trave: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: linea elastica · abbassamento della trave

Esercizi gratuiti su Freccia della trave con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: mensola, carico all’estremo, carico uniforme, sovrapposizione e progetto.

Esercizio gratuitoFacile
P = 3 kNδL = 1,5 m

Una mensola porta un carico concentrato P all’estremo libero. Trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilemensola, carico all’estremo
  2. Mediacarico uniforme
  3. Difficilesovrapposizione e progetto

Formule chiave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Impara Freccia della trave da zero

Prima di questo: Taglio e momento flettente, Baricentro e momento d’inerzia

1Che cos’è la deflessione

Ogni trave si inflette un poco sotto carico. La distanza di cui un punto della trave si sposta verso il basso è la sua freccia (deflessione) δ, di solito in mm.

PδL

Una trave può essere abbastanza resistente e flettersi comunque troppo. I solai allora risultano elastici, l’intonaco si crepa e le porte si bloccano. Un limite comune per i solai è luce/360: un solaio di 3,6 m può inflettersi al massimo di 10 mm.

Quanto si inflette una trave dipende da quattro cose:

  • il carico: un carico doppio dà una freccia doppia;
  • la luce: la freccia cresce molto in fretta con la lunghezza (L³ o L⁴);
  • il modulo di Young E del materiale: un materiale più rigido si inflette meno;
  • il momento d’inerzia I della sezione: una sezione più alta si inflette meno.

E e I compaiono sempre insieme come prodotto EI, la rigidezza flessionale della trave.

Autoverifica Sostituisci una trave con un’altra con momento d’inerzia I doppio. Tutto il resto resta uguale. Che cosa succede alla freccia?
  1. Diventa un quarto
  2. Raddoppia
  3. Resta uguale
  4. Si dimezza

Risposta: Si dimezza. La freccia è inversamente proporzionale a EI. Raddoppiare I dimezza δ.

2Le formule standard

Le frecce si ottengono integrando due volte il momento flettente, ma per i casi comuni il risultato è tabulato. Quattro casi coprono la maggior parte delle domande:

  • Mensola, carico concentrato P all’estremità libera: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • Mensola, carico distribuito w su tutta la lunghezza: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • Semplicemente appoggiata, carico concentrato P in mezzeria: δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • Semplicemente appoggiata, carico distribuito w su tutta la luce: δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

Per una mensola la freccia massima è all’estremità libera; per una trave semplicemente appoggiata con carichi simmetrici è in mezzeria.

Quando una trave porta più carichi, le frecce dovute a ciascun carico da solo si sommano. Questa è la sovrapposizione degli effetti.

Autoverifica Una mensola con un carico all’estremità ha una freccia in punta di 2 mm. La mensola viene resa lunga il doppio. Qual è la nuova freccia?
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

Risposta: 16 mm. δ è proporzionale a L³, quindi raddoppiare L moltiplica δ per 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm lo tratta come lineare; 32 mm usa L⁴, che è il caso del carico distribuito.

3Unità: lavora in N e mm

Le formule funzionano solo con unità coerenti. La scelta sicura sono newton e millimetri:

  • P in N: kN × 1000.
  • w in N/mm: 1 kN/m è esattamente 1 N/mm.
  • L in mm: m × 1000.
  • E in N/mm²: GPa × 1000. Acciaio: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I in mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” significa 36 000 000 mm⁴.

La freccia risulta allora in mm. Poiché L è elevata alla terza o quarta potenza, i numeri diventano grandi. Una calcolatrice con le potenze di dieci li tiene sotto controllo.

Autoverifica Una trave è di acciaio, E = 200 GPa. Quale valore di E usi con N e mm?
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

Risposta: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², quindi 200 GPa = 200 000 N/mm². Usare 200 rende la freccia 1000 volte troppo grande.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Individua il caso: mensola o semplicemente appoggiata, carico concentrato o distribuito.
  2. Converti P, w, L, E e I in N e mm.
  3. Scegli la formula corrispondente.
  4. Calcola δ in mm.
  5. Per più carichi: calcola ciascuno da solo e sommali.
  6. Per una domanda di progetto: poni δ uguale al valore ammesso (per esempio L/360) e risolvi per I.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una mensola d’acciaio (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) è lunga 3 m e porta un carico concentrato di 8 kN alla sua estremità libera. Trova la freccia all’estremità libera.

1

Individua il caso

P = 8 kNδL = 3 m

Una mensola con un carico concentrato all’estremità libera: δ = PL³/(3EI).

2

Converti in N e mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

3

Rigidezza flessionale

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

Freccia in punta

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

Controlla il risultato

10 mm su una mensola di 3 m è L/300. È un valore realistico per una trave d’acciaio caricata: né una frazione di millimetro né decine di centimetri.

Risposta

L’estremità libera si inflette di δ = 10 mm.

6Errori comuni

  • Mescolare le unità: L in metri con E in N/mm² dà risultati senza senso. Converti prima tutto in N e mm.
  • Lasciare E in GPa, il che rende δ 1000 volte troppo grande.
  • Usare il caso sbagliato, per esempio PL³/(48EI) per una mensola. Controlla i vincoli e il tipo di carico.
  • Dimenticare il 5 in 5wL⁴/(384EI).
  • Nella sovrapposizione, usare una formula diversa per ogni carico ma dimenticare uno dei carichi.
Autoverifica Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato in mezzeria che da solo dà 4 mm, e un carico distribuito che da solo dà 6 mm. Qual è la freccia in mezzeria?
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

Risposta: 10 mm. Per sovrapposizione le frecce dovute a ciascun carico si sommano: 4 + 6 = 10 mm. Prendere solo la maggiore, la differenza o il prodotto sono tutti errati.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: mensola con un carico all’estremità. Trova δ = PL³/(3EI). Varianti: una trave semplicemente appoggiata con un carico centrale, la rotazione all’estremità, o il carico che dà una certa freccia.
  • Medio: carico uniforme. Una mensola (wL⁴/8EI) o una trave semplicemente appoggiata (5wL⁴/384EI). Varianti: carichi non centrati e rotazioni agli estremi.
  • Difficile: sovrapposizione e progetto. Somma le frecce di un carico concentrato e di uno distribuito, oppure trova il più piccolo I che mantiene δ sotto L/360.

Per il caso di progetto: Ireq = 5wL⁴ / (384·E·δamm), con δamm = L/360.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
P = 19 kNABδ2 m2 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P in mezzeria. Trova la freccia in mezzeria δmax.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Calcola δmax (mm)

Mostra i suggerimenti
  1. Per una trave semplicemente appoggiata con carico concentrato centrale la freccia in mezzeria è δ = PL³/(48EI).
  2. Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Freccia in mezzeria

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Risposta

δmax = 10,56 mm
Esempio 2Media
P = 26 kNABδ2 m4 m

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δB all’estremo libero B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Calcola δB (mm)

Mostra i suggerimenti
  1. Il tratto tra A e il carico si comporta come una mensola di lunghezza a con carico all’estremo: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
  2. Oltre il carico non c’è momento, quindi quel tratto resta rettilineo: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Risposta

δB = 16,51 mm
Esempio 3Difficile
w = 4 kN/mABδ3 m

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 100 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/360. Trova l’altezza minima hreq della sezione.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 100 mm

Calcola hreq (mm)

Mostra i suggerimenti
  1. Poni la freccia in mezzeria 5wL⁴/(384EI) uguale al limite e ricava l’I richiesto.
  2. Poi usa I = bh³/12 per il rettangolo e ricava h.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

Risposta

hreq = 176,8 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

Domande e risposte

Freccia della trave: di cosa si tratta?

Ogni trave si inflette un poco sotto carico. La distanza di cui un punto della trave si sposta verso il basso è la sua freccia (deflessione) δ, di solito in mm.

Una trave può essere abbastanza resistente e flettersi comunque troppo. I solai allora risultano elastici, l’intonaco si crepa e le porte si bloccano. Un limite comune per i solai è luce/360: un solaio di 3,6 m può inflettersi al massimo di 10 mm.

Freccia della trave: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Freccia della trave: quali sono gli errori più comuni?
  • PL³/(3EI) è la mensola con carico all’estremo. Una trave semplicemente appoggiata con carico centrale ha freccia PL³/(48EI).
  • Il coefficiente 5/384 appartiene a un carico uniforme (con wL⁴). Per un carico concentrato centrale usa 1/48.
  • Questa è la freccia sotto il carico. Oltre il carico la trave è rettilinea ma inclinata, quindi aggiungi θ·(L − a).
Freccia della trave: che cosa si esercita?
  • Facile: mensola, carico all’estremo
  • Media: carico uniforme
  • Difficile: sovrapposizione e progetto

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

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