Cedimento di consolidazione: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Cedimento di consolidazione con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: argilla normalmente consolidata, argilla sovraconsolidata, tempo di consolidazione.
Esercizio gratuitoFacile
Uno strato di argilla normalmente consolidata spesso 7,5 m (Cc = 0,5, e₀ = 1,15) ha una tensione verticale efficace di 135 kPa a metà profondità. Un rilevato esteso aumenta la tensione verticale nell’argilla di 110 kPa. Tratta lo strato come un unico sottostrato con le tensioni a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
Quando costruisci su uno strato di argilla, il carico aggiuntivo comprime l’argilla. L’acqua viene espulsa dai pori e i grani si avvicinano. La superficie del terreno si abbassa: questo è il cedimento da consolidazione.
L’argilla ha pori molto piccoli, quindi l’acqua esce lentamente. Un edificio su argilla può continuare a cedere per anni.
La quantità di spazio dei pori è misurata dall’indice dei vuotie: il volume dei pori diviso per il volume dei grani solidi. Un’argilla con e = 1 ha tanto volume di pori quanto volume di grani.
Quando l’argilla viene compressa, e diminuisce. Lo strato si assottiglia della stessa frazione del suo volume totale:
S = H · Δe / (1 + e0)
Qui H è lo spessore dello strato, e0 l’indice dei vuoti iniziale e Δe la diminuzione dell’indice dei vuoti. L’1 + e0 è il volume totale per unità di volume dei grani.
Autoverifica Perché uno strato di argilla impiega anni a cedere, mentre la sabbia cede quasi subito?
I grani di argilla sono più pesanti dei grani di sabbia
Il carico sull’argilla cresce lentamente negli anni
L’acqua deve defluire da pori molto piccoli, e ci vuole tempo
L’argilla non ha acqua nei pori
Risposta: L’acqua deve defluire da pori molto piccoli, e ci vuole tempo. Il cedimento richiede che l’acqua esca dai pori. Nell’argilla i pori sono minuscoli, quindi l’acqua defluisce lentamente. Nella sabbia esce quasi subito.
2Argilla normalmente consolidata e sovraconsolidata
Le prove mostrano che e diminuisce lungo una retta quando lo si riporta in funzione del logaritmo della tensione efficace σ′. La pendenza di quella retta è l’indice di compressioneCc.
Alcune argille sono state caricate più pesantemente in passato, per esempio da un ghiacciaio o da terreno poi eroso. La massima tensione efficace che un’argilla abbia mai sopportato è la sua pressione di preconsolidazioneσ′p.
Sotto σ′p l’argilla si ricomprime solo lungo una retta piatta con pendenza Cr, l’indice di ricompressione. Cr è piccolo, spesso Cc/10.
Sopra σ′p l’argilla segue la retta ripida con pendenza Cc.
Un’argilla che ora si trova a σ′0 = σ′p è normalmente consolidata (NC). Un’argilla con σ′0 < σ′p è sovraconsolidata (OC). Il grado di sovraconsolidazione è OCR = σ′p/σ′0.
Con σ′f = σ′0 + Δσ la tensione efficace finale, il cedimento è:
Tutte le tensioni sono prese al centro dello strato di argilla, che rappresenta la media dell’intero strato.
Autoverifica Un’argilla ha σ′₀ = 60 kPa e σ′p = 120 kPa. Un carico porta la tensione a σ′f = 100 kPa. Quale indice usi?
Cr fino a 120 kPa, poi Cc
Nessuno: l’argilla non cede
Solo Cc
Solo Cr
Risposta: Solo Cr. La tensione finale di 100 kPa resta sotto σ′p = 120 kPa, quindi l’argilla si ricomprime solo lungo la retta piatta Cr. Cc servirebbe solo sopra 120 kPa.
3Quanto tempo ci vuole
Il tempo per raggiungere una certa parte del cedimento finale dipende da quanto deve percorrere l’acqua. Quella distanza è il percorso di drenaggioHdr.
Sabbia (o un altro strato a drenaggio libero) sopra e sotto l’argilla: l’acqua esce da entrambe le facce, quindi Hdr = H/2. Questo è il drenaggio doppio.
Roccia o un altro strato impermeabile sotto: l’acqua può uscire solo in alto, quindi Hdr = H. Questo è il drenaggio semplice.
t = Tv · Hdr² / cv
cv è il coefficiente di consolidazione dell’argilla, per esempio in m²/anno. Tv è il fattore di tempo per il grado di consolidazione U desiderato: 0,197 per il 50%, 0,403 per il 70%, 0,848 per il 90%.
Esempio: uno strato di argilla di 4 m su roccia, cv = 2 m²/anno, U = 50%. t = 0,197 · 4²/2 = 1,576 anni. Con sabbia sotto, Hdr = 2 m e t = 0,394 anni: quattro volte più veloce.
Autoverifica Uno strato di argilla spesso 6 m si trova tra due strati di sabbia. Qual è il percorso di drenaggio Hdr?
1,5 m
12 m
3 m
6 m
Risposta: 3 m. L’acqua esce in alto e in basso, quindi il percorso più lungo è metà dello strato: 6/2 = 3 m. Usare l’intero 6 m è giusto solo quando una faccia è chiusa.
4Il metodo passo dopo passo
Trova la tensione efficace iniziale σ′0 al centro dell’argilla (data, oppure dal profilo del terreno).
Aggiungi la tensione extra: σ′f = σ′0 + Δσ.
Decidi il tipo di argilla. Se sono dati σ′p o OCR, confronta σ′f con σ′p = OCR·σ′0.
Scegli la formula corrispondente e usa log₁₀, non ln.
Dai S nell’unità richiesta: i metri per 1000 danno i millimetri.
Per una domanda sul tempo: trova Hdr dal drenaggio in alto e in basso, poi t = Tv·Hdr²/cv.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Uno strato di argilla normalmente consolidata spesso 4 m (Cc = 0,3, e0 = 1,0) ha σ′0 = 100 kPa a metà profondità. Un ampio rilevato aggiunge Δσ = 100 kPa. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
1
Osserva lo strato
L’argilla è normalmente consolidata, quindi l’intero incremento di tensione segue la retta Cc.
2
Tensione efficace finale
σ′f = σ′0 + Δσ = 100 + 100 = 200 kPa
3
Il logaritmo
log₁₀(σ′f/σ′0) = log₁₀(200/100) = log₁₀ 2 = 0,301
4
Il fattore dello strato
Cc·H/(1 + e0) = 0,3 · 4/(1 + 1,0) = 0,6 m
5
Cedimento
S = 0,6 · 0,301 = 0,1806 m = 180,6 mm
6
Controlla il risultato
L’indice dei vuoti diminuisce di Δe = Cc·0,301 = 0,0903. Allora S = H·Δe/(1 + e0) = 4 · 0,0903/2 = 0,1806 m. Questo è il 4,5% dello strato, un valore normale per un’argilla soffice.
Risposta
S ≈ 181 mm (0,1806 m).
6Errori comuni
Usare ln invece di log₁₀. La risposta risulta allora 2,3 volte troppo grande.
Dimenticare di dividere per 1 + e0.
Scrivere log₁₀(Δσ/σ′0) invece di log₁₀((σ′0 + Δσ)/σ′0).
Usare Cc per un’argilla sovraconsolidata che resta sotto σ′p.
Prendere Hdr = H/2 quando l’argilla poggia su roccia, o Hdr = H quando drenano entrambe le facce.
Dimenticare di elevare al quadrato Hdr nella formula del tempo.
Autoverifica Argilla NC: Cc = 0,25, H = 4 m, e₀ = 1,0, σ′₀ = 50 kPa, Δσ = 50 kPa. Quanto vale S?
0 mm
150,5 mm
301,0 mm
346,6 mm
Risposta: 150,5 mm. S = 0,25·4/2 · log₁₀(100/50) = 0,5 · 0,301 = 0,1505 m. Usare ln dà 346,6 mm, omettere 1 + e₀ dà 301 mm, e log₁₀(Δσ/σ′₀) = log₁₀ 1 dà 0.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: argilla normalmente consolidata. Ti vengono dati H, Cc, e0, σ′0 e Δσ, come nell’esempio. A volte trovi prima σ′0 da un profilo del terreno.
Medio: argilla sovraconsolidata con Cr, Cc e σ′p o OCR. Confronta prima σ′f con σ′p; spezza il logaritmo in σ′p se lo superi.
Difficile: tempo di consolidazione. Decidi se il drenaggio è semplice o doppio, poi t = Tv·Hdr²/cv.
Esempio svolto OC: H = 2 m, e0 = 1, Cr = 0,04, Cc = 0,4, σ′0 = 50 kPa, σ′p = 100 kPa, Δσ = 100 kPa. Allora σ′f = 150 kPa supera σ′p.
S = 2/2 · [0,04·log₁₀(100/50) + 0,4·log₁₀(150/100)] = 0,0120 + 0,0704 = 0,0825 m
Uno strato di argilla normalmente consolidata spesso 7 m (γsat = 18,5 kN/m³, Cc = 0,2, e₀ = 0,9) si trova sotto 4 m di sabbia (γ = 19 kN/m³). La falda è alla sommità dell’argilla; usa γw = 9,81 kN/m³. Un rilevato esteso aumenta la tensione verticale in tutta l’argilla di 70 kPa. Tratta lo strato come un unico sottostrato con le tensioni a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
sabbia: Hs = 4 m, γ = 19 kN/m³argilla: H = 7 m, γsat = 18,5 kN/m³γw = 9,81 kN/m³Cc = 0,2e0 = 0,9Δσ = 70 kPa
Calcola S(mm)
Mostra i suggerimenti
Normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′f/σ′₀).
A metà dell’argilla: σ′₀ = γ·Hs + (γsat − γw)·H/2.
Cc·H/(1 + e0) = 0,7368 m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Tensione efficace a metà dell’argilla
La sabbia si trova sopra la falda; sotto di essa l’argilla è immersa, quindi usa γsat − γw.
σ′0 = 19·4 + (18,5 − 9,81)·3,5 = 106,4 kPa
Tensione efficace finale
σ′f = 106,4 + 70 = 176,4 kPa
Cedimento
S = 0,2·7/(1 + 0,9)·log₁₀(176,4/106,4) = 0,7368·0,2195 = 0,1618 m = 161,8 mm
Risposta
S = 161,8 mm
Esempio 2Media
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2 m ha Cc = 0,5, Cr = 0,02 ed e₀ = 1,2. A metà profondità la tensione verticale efficace è 50 kPa e la pressione di preconsolidazione è 150 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 230 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
Confronta la tensione finale σ′₀ + Δσ con la pressione di preconsolidazione.
σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > σ′p = 150 kPa.
Dividi l’intervallo di tensione in σ′p: Cr da σ′₀ a σ′p, poi Cc da σ′p a σ′f.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > 150 kPa
Cedimento
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
S = 0,02·2/(1 + 1,2)·log₁₀(150/50) + 0,5·2/(1 + 1,2)·log₁₀(280/150)
S = 8,675 + 123,2 = 131,9 mm
Risposta
S = 131,9 mm
Esempio 3Difficile
Uno strato di argilla spesso 9,5 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 3 m²/anno. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Per una consolidazione media del 60% il fattore di tempo è Tv = 0,287. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 60% di consolidazione?
Due facce drenanti: il percorso più lungo che una particella d’acqua compie è metà dello strato.
Hdr = 4,75 m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorso di drenaggio
Hdr = H/2 = 9,5/2 = 4,75 m
Tempo
t = Tv·Hdr²/cv = 0,287·4,75²/3 = 2,158 anni
Risposta
t = 2,158 anni
Domande e risposte
Cedimento di consolidazione: di cosa si tratta?
Quando costruisci su uno strato di argilla, il carico aggiuntivo comprime l’argilla. L’acqua viene espulsa dai pori e i grani si avvicinano. La superficie del terreno si abbassa: questo è il cedimento da consolidazione.
L’argilla ha pori molto piccoli, quindi l’acqua esce lentamente. Un edificio su argilla può continuare a cedere per anni.
Cedimento di consolidazione: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Cedimento di consolidazione: quali sono gli errori più comuni?
Usa il logaritmo in base 10, log₁₀, non il logaritmo naturale ln.
Dividi per 1 + e₀, non limitarti a moltiplicare per Cc·H.
Il logaritmo usa la tensione finale su quella iniziale: (σ′₀ + Δσ)/σ′₀, non Δσ/σ′₀.
Cedimento di consolidazione: che cosa si esercita?
Facile: argilla normalmente consolidata
Media: argilla sovraconsolidata
Difficile: tempo di consolidazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.