Tensione efficace nel terreno: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Tensione efficace nel terreno con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: falda in superficie, falda nello strato, due strati.

Esercizio gratuitoFacile
sabbiaγsat​ = 18,5 kN/m³4 mfalda freaticaXz = 3 m

Per il profilo del terreno mostrato, trova la pressione interstiziale u nel punto X.

z = 3 mzw = 0 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³
kPa
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilefalda in superficie
  2. Mediafalda nello strato
  3. Difficiledue strati

Formule chiave

Tensione totale
σ = Σγi·hi
Pressione interstiziale
u = γw·(z − zw)
Tensione efficace
σ′ = σ − u
Acqua
γw = 9,81 kN/m³

Impara Tensione efficace nel terreno da zero

1Che cos’è la tensione efficace

Il terreno è uno scheletro di grani solidi con piccoli vuoti tra di loro, detti pori. Sotto la falda i pori sono pieni d’acqua.

Ogni punto nel terreno sopporta il peso di tutto ciò che sta sopra. Questo carico per metro quadrato è la tensione totale σ, in kPa.

Una parte di quel carico è portata dall’acqua nei pori, la pressione dell’acqua nei pori (pressione interstiziale) u. Il resto è portato dai grani che si premono l’uno contro l’altro.

σuuuσ′

La parte portata dai grani è la tensione efficace:

σ′ = σ − u

Questo è il principio di Terzaghi. La resistenza e il cedimento del terreno dipendono da σ′, perché solo il contatto tra grano e grano dà attrito e compressione.

Pensa a una spugna bagnata in un secchio d’acqua. La pressione dell’acqua tutt’intorno non la comprime. Solo un carico sulla spugna stessa lo fa.

Autoverifica Quale tensione controlla la resistenza di un terreno e quanto cede?
  1. La pressione dell’acqua nei pori u
  2. La somma σ + u
  3. La tensione efficace σ′
  4. La tensione totale σ

Risposta: La tensione efficace σ′. Solo la tensione trasmessa da grano a grano dà attrito e compressione. Quella è σ′ = σ − u. L’acqua porta u, che non preme i grani l’uno contro l’altro.

2Tensione totale dai pesi specifici

Il peso specifico γ è il peso di un metro cubo di terreno, in kN/m³. Una fascia di terreno di spessore h aggiunge γ·h alla tensione totale sottostante.

σ = Σ γi · hi

Il terreno sopra la falda è drenato, quindi usi il peso specifico secco γd. Sotto la falda i pori sono pieni d’acqua, quindi usi il peso specifico saturo γsat, più pesante.

Valori tipici: sabbia secca da 15 a 17 kN/m³, sabbia satura da 18 a 21 kN/m³, acqua 9,81 kN/m³.

Esempio: 2 m di sabbia secca con γd = 16 kN/m³ sopra 3 m di sabbia satura con γsat = 20 kN/m³. A 5 m di profondità σ = 16·2 + 20·3 = 32 + 60 = 92 kPa.

Autoverifica Una sabbia secca (γd = 16 kN/m³) si trova sopra la falda. Qual è la tensione totale a 3 m sotto la superficie?
  1. 19 kPa
  2. 29,4 kPa
  3. 48 kPa
  4. 5,3 kPa

Risposta: 48 kPa. σ = γ·h = 16 · 3 = 48 kPa. Sommare γ e h (19) o dividerli (5,3) confonde la formula, e 29,4 kPa usa il peso specifico dell’acqua.

3Pressione interstiziale

L’acqua nei pori è collegata, come l’acqua in un serbatoio. Quindi la pressione dell’acqua nei pori cresce con la profondità sotto la falda, ed è zero sulla falda stessa.

u = γw · (z − zw)

Qui z è la profondità del punto, zw la profondità della falda e γw = 9,81 kN/m³. Sopra la falda u = 0.

Conta solo la profondità sotto la falda. Il tipo di terreno e gli strati superiori non cambiano u.

Autoverifica La falda si trova a 2 m sotto la superficie. Quanto vale u a una profondità di 5 m? (γw = 9,81 kN/m³)
  1. 0 kPa
  2. 19,62 kPa
  3. 29,43 kPa
  4. 49,05 kPa

Risposta: 29,43 kPa. Il punto è a 5 − 2 = 3 m sotto la falda, quindi u = 9,81 · 3 = 29,43 kPa. Usare l’intera profondità di 5 m (49,05 kPa) è la svista più comune.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Segna sul profilo il punto X, la sua profondità z e la profondità della falda zw.
  2. Dividi il terreno sopra X in fasce: ogni fascia ha un peso specifico. La falda e ogni limite tra strati iniziano una nuova fascia.
  3. Tensione totale: somma γ·h per ogni fascia. Usa γd sopra la falda e γsat sotto.
  4. Pressione dell’acqua nei pori: u = γw·(z − zw), oppure 0 se X è sopra la falda.
  5. Tensione efficace: σ′ = σ − u.

Scrivi le unità a ogni passaggio. Pesi specifici in kN/m³ per profondità in m danno kPa.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Uno strato di sabbia spesso 8 m ha la falda 2 m sotto la superficie. Trova la tensione efficace verticale σ′ nel punto X, a 6 m di profondità. Usa γw = 9,81 kN/m³.

1

Osserva il profilo

8 mγd​ = 16 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³zw​ = 2 mXz = 6 m

X è a z = 6 m. La falda è a zw = 2 m, quindi X si trova 6 − 2 = 4 m sotto di essa.

2

Dividi in fasce

Da 0 a 2 m la sabbia è sopra la falda: 2 m con γd = 16 kN/m³.

Da 2 a 6 m la sabbia è sotto la falda: 4 m con γsat = 20 kN/m³.

3

Tensione totale

σ = 16 · 2 + 20 · 4 = 32 + 80 = 112 kPa
4

Pressione interstiziale

u = 9,81 · (6 − 2) = 9,81 · 4 = 39,24 kPa
5

Tensione efficace

σ′ = σ − u = 112 − 39,24 = 72,76 kPa
6

Controlla il risultato

Sotto la falda ogni metro aggiunge γsat − γw = 20 − 9,81 = 10,19 kPa a σ′. Quindi σ′ = 16 · 2 + 10,19 · 4 = 32 + 40,76 = 72,76 kPa. I due percorsi concordano.

Risposta

σ′ = 72,76 kPa in X.

6Errori comuni

  • Misurare u dalla superficie del terreno. Usa solo la profondità sotto la falda: z − zw.
  • Usare γsat sopra la falda, o γd sotto.
  • Dimenticare di sottrarre u e dare σ quando si chiede σ′.
  • In due strati, usare un solo peso specifico per entrambi. Ogni strato ha il proprio γ.
  • Confondere quale valore viene chiesto: σ, u o σ′. Rileggi l’ultima riga della domanda.
Autoverifica Sabbia: γd = 16 kN/m³, γsat = 20 kN/m³, falda a 1 m, γw = 9,81 kN/m³. Quanto vale σ′ a 4 m di profondità?
  1. 36,76 kPa
  2. 46,57 kPa
  3. 50,57 kPa
  4. 76 kPa

Risposta: 46,57 kPa. σ = 16·1 + 20·3 = 76 kPa e u = 9,81·3 = 29,43 kPa, quindi σ′ = 46,57 kPa. Prendere u dalla superficie (9,81·4) dà 36,76 kPa, e 76 kPa dimentica del tutto u.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: uno strato di sabbia satura con la falda in superficie. Allora σ = γsat·z e u = γw·z.
  • Medio: la falda è dentro lo strato. Usa γd sopra e γsat sotto, come nell’esempio.
  • Difficile: due strati, sabbia sopra argilla, con X al centro dell’argilla. Aggiungi una terza fascia con il γsat proprio dell’argilla.

La domanda può chiedere σ, u o σ′. Il metodo è lo stesso; ti fermi al passaggio che dà il valore richiesto.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
sabbiaγsat​ = 20 kN/m³11 mfalda freaticaXz = 8 m

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.

z = 8 mzw = 0 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γsat = 20 kN/m³

Calcola σ (kPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Tensione efficace = tensione totale − pressione interstiziale.
  2. Usa il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto.
  3. σ = 160 kPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γsat·z = 20·8 = 160 kPa

Risposta

σ = 160 kPa
Esempio 2Media
sabbiaγd​ = 16 kN/m³γsat​ = 18,5 kN/m³12 mfalda freaticaXz = 11 m

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.

z = 11 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³

Calcola σ (kPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Tensione efficace = tensione totale − pressione interstiziale.
  2. Usa il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto.
  3. σ = 201 kPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·1 + 18,5·10 = 201 kPa

Risposta

σ = 201 kPa
Esempio 3Difficile
sabbiaγd​ = 15 kN/m³γsat​ = 19,5 kN/m³4 margillaγsat​ = 19 kN/m³5 mfalda freaticaXz = 6,5 m

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.

z = 6,5 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 15 kN/m³sabbia: γsat = 19,5 kN/m³argilla: γsat = 19 kN/m³

Calcola σ′ (kPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Tensione efficace = tensione totale − pressione interstiziale.
  2. Trova σ dai pesi degli strati sopra X, e u dalla profondità di X sotto la falda.
  3. σ = 116,5 kPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·2,5
σ = 15·2 + 19,5·2 + 19·2,5 = 116,5 kPa

Pressione interstiziale

La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.

u = γw·(z − zw) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Tensione efficace

σ′ = σ − u = 116,5 − 44,15 = 72,35 kPa

Risposta

σ′ = 72,35 kPa

Domande e risposte

Tensione efficace nel terreno: di cosa si tratta?

Il terreno è uno scheletro di grani solidi con piccoli vuoti tra di loro, detti pori. Sotto la falda i pori sono pieni d’acqua.

Ogni punto nel terreno sopporta il peso di tutto ciò che sta sopra. Questo carico per metro quadrato è la tensione totale σ, in kPa.

Tensione efficace nel terreno: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).

Tensione efficace nel terreno: che cosa si esercita?
  • Facile: falda in superficie
  • Media: falda nello strato
  • Difficile: due strati

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