Taglio e momento flettente: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: diagramma del taglio · diagramma del momento flettente · caratteristiche della sollecitazione

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Esercizio gratuitoFacile
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

La trave semplicemente appoggiata porta un solo carico concentrato P. Trova il taglio Vx immediatamente a destra del carico. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 60 kN in 2,5 m
kN
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilecarico concentrato
  2. Mediacarico distribuito su tutta la luce
  3. Difficilecarico concentrato + distribuito

Come risolvere gli esercizi di Taglio e momento flettente

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Errori comuni

  • Includere carichi da entrambi i lati del taglio.
  • Usare la convenzione dei segni sbagliata per momenti positivi (che tendono le fibre inferiori) e negativi.
  • Rispondere con il taglio quando è richiesto il momento flettente.

Formule chiave

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Impara Taglio e momento flettente da zero

Prima di questo: Reazioni vincolari delle travi

1Che cosa succede dentro una trave

Nella lezione sulle reazioni vincolari hai trovato le forze esterne su una trave. Ora guarda all’interno: che cosa deve sopportare il materiale in un punto della trave?

Immagina di segare la trave in due in un certo punto. Ogni metà cadrebbe. Per tenerla al suo posto, l’altra metà deve sostenerla con due azioni interne:

  • lo sforzo di taglio V, che impedisce a un lato di scorrere in su o in giù rispetto all’altro (in kN);
  • il momento flettente M, che impedisce a un lato di ruotare rispetto all’altro (in kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Una trave che si flette a forma di sorriso, con la parte inferiore tesa, è in flessione positiva (sagging). Una trave che si flette a forma di broncio, come un balcone, è in flessione negativa (hogging).

Gli ingegneri hanno bisogno di M perché la tensione di flessione nella trave cresce con esso, e di V perché la trave non deve tagliarsi vicino agli appoggi.

Autoverifica Una trave semplicemente appoggiata porta un carico verso il basso. Quale lato della trave è teso?
  1. Entrambi i lati allo stesso modo
  2. Nessuno dei due lati, la trave si accorcia soltanto
  3. Quello inferiore: la trave è in flessione positiva (sagging)
  4. Quello superiore: la trave è in flessione negativa (hogging)

Risposta: Quello inferiore: la trave è in flessione positiva (sagging). Una trave su due appoggi si flette a forma di sorriso sotto un carico verso il basso. Le fibre inferiori si allungano (trazione), quelle superiori si accorciano (compressione).

2Il metodo delle sezioni

Per trovare V e M a una distanza x da A, taglia la trave in quel punto e tieni solo la parte a sinistra del taglio. Quella parte è in equilibrio da sola.

RA​VMAx

Le solite regole dei segni: una forza verso l’alto sulla parte sinistra conta come taglio positivo, e un momento che tende le fibre inferiori è positivo. Ne vengono due ricette brevi:

  • Sforzo di taglio: V = RA meno tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio.
  • Momento flettente: M = RA·x meno, per ogni carico a sinistra del taglio, il carico per la sua distanza dal taglio.

Un tratto di carico distribuito (UDL) a sinistra del taglio agisce come un’unica forza w·ℓ nel suo punto medio, proprio come nella lezione sulle reazioni vincolari.

Puoi invece tenere la parte destra. Ottieni gli stessi V e M, il che è un utile controllo.

Autoverifica RA = 10 kN. Il primo carico è a 5 m da A. Qual è il momento flettente in x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Risposta: 30 kN·m. A sinistra del taglio non c’è nessun carico, quindi M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN è lì lo sforzo di taglio, non il momento.

3Diagrammi e momento massimo

Se calcoli V e M in ogni x, ottieni il diagramma dello sforzo di taglio e il diagramma del momento flettente. Le loro forme seguono regole semplici:

  • Tra carichi concentrati, V è costante e M è una retta.
  • Sotto un carico distribuito, V scende in modo lineare e M è una curva (una parabola).
  • Un carico concentrato fa fare a V un salto pari al valore del carico.
  • M è massimo dove V cambia segno, passando per zero.

Due risultati compaiono così spesso che vale la pena conoscerli:

  • Carico concentrato P in mezzeria: Mmax = P·L / 4
  • Carico distribuito w su tutta la luce: Mmax = w·L² / 8
Autoverifica Una trave semplicemente appoggiata di 6 m porta un carico distribuito di 4 kN/m su tutta la luce. Qual è il momento flettente massimo?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Risposta: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m in mezzeria. 36 usa /4 (la regola del carico concentrato); 12 kN è la reazione wL/2.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione x e tieni la parte sinistra.
  3. Sforzo di taglio: V = RA meno tutti i carichi verso il basso sulla parte sinistra.
  4. Momento flettente: M = RA·x meno ogni carico sulla parte sinistra per la sua distanza dal taglio.
  5. Per il momento massimo: trova dove V = 0 e calcola M lì.

Disegna la parte sinistra come un piccolo schizzo separato. Rende evidente quali carichi includere.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una trave semplicemente appoggiata di luce 6 m porta un carico distribuito di 4 kN/m su tutta la lunghezza. Trova lo sforzo di taglio V e il momento flettente M in x = 2 m da A.

1

Osserva la trave

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Reazioni vincolari

Il carico totale è 4 · 6 = 24 kN, al centro. Per simmetria ogni appoggio porta metà:

RA = RB = 12 kN
3

Tieni la parte sinistra

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

Il carico distribuito sulla parte sinistra è 4 · 2 = 8 kN. Agisce nel suo punto medio, a 1 m dal taglio.

4

Taglio

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Momento flettente

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

È positivo, quindi la trave qui è in flessione positiva (sagging).

6

Controlla il risultato

Usa invece la parte destra: è lunga 4 m, con RB = 12 kN e un carico distribuito di 16 kN a 2 m dal taglio.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Il diagramma completo è una parabola con il picco wL²/8 = 18 kN·m in mezzeria. 16 kN·m in x = 2 m è coerente.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Risposta

V = 4 kN e M = 16 kN·m (flessione positiva).

6Errori comuni

  • Includere i carichi da entrambi i lati del taglio. Usa solo la parte che hai tenuto.
  • Misurare il braccio da A invece che dal taglio. In M, ogni distanza va dal carico al taglio.
  • Rispondere con V quando si chiede M, o viceversa. Controlla l’unità: kN o kN·m.
  • Prendere tutto il carico distribuito invece della sola parte a sinistra del taglio.
  • Mescolare le regole dei segni. Con le regole usuali, una trave semplicemente appoggiata sotto carichi verso il basso ha ovunque momenti positivi (flessione positiva).
Autoverifica Una trave semplicemente appoggiata di 4 m porta 20 kN in mezzeria, quindi RA = 10 kN. Quanto vale M in x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Risposta: 10 kN·m. A sinistra del taglio c’è solo RA: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 sottrae a torto il carico, che sta a destra del taglio. 20 kN·m è PL/4, il massimo in mezzeria. 10 kN è lo sforzo di taglio.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: un carico concentrato. Trova M sotto il carico, oppure V subito a fianco. Alcune varianti usano una mensola, dove M è massimo all’incastro.
  • Medio: un carico distribuito su tutta la luce, come nell’esempio. Trova V o M in un dato x, oppure il momento massimo.
  • Difficile: un carico concentrato e uno distribuito insieme, oppure un carico distribuito parziale. Trova M in una sezione o il momento massimo dove V = 0.

Alcune versioni usano una trave con sbalzo oltre un appoggio. Lo sbalzo è in flessione negativa (hogging), quindi lì M è negativo.

Parti sempre dalle reazioni vincolari e scrivile sul tuo schizzo.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Mostra i suggerimenti
  1. I picchi del momento flettente stanno dove il taglio cambia segno, in un incastro, o sopra un appoggio vicino a uno sbalzo.
  2. Trova prima le reazioni vincolari: R1 = 33,33 kN.
  3. Confronta i momenti nei punti candidati; il valore più grande in modulo è 66,67 kN·m.
Mostra la risposta e la spiegazione

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Risposta

Punto B: MB = 66,67 kN·m
Esempio 2Media
w = 5 kN/mABsezione0,5 m5,5 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 5 kN/m da 0 a 6 mx = 0,5 m

Calcola Mx (kN·m)

Mostra i suggerimenti
  1. Prima trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Poi taglia la trave in x = 0,5 m e considera solo la parte a sinistra del taglio. Somma i momenti di quelle forze rispetto al taglio.
  3. RA = 15 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15sezione0,5 m5,5 m

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Risposta

Mx = 6,875 kN·m
Esempio 3Difficile
w = 6 kN/mP = 45 kNABsezione1,5 m3,5 m1 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 45 kN in 1,5 mw = 6 kN/m da 0 a 6 mx = 5 m

Calcola Mx (kN·m)

Mostra i suggerimenti
  1. Prima trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Poi taglia la trave in x = 5 m e considera solo la parte a sinistra del taglio. Somma i momenti di quelle forze rispetto al taglio.
  3. RA = 51,75 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25sezione1,5 m3,5 m1 m

Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Risposta

Mx = 26,25 kN·m

Domande e risposte

Taglio e momento flettente: di cosa si tratta?

Nella lezione sulle reazioni vincolari hai trovato le forze esterne su una trave. Ora guarda all’interno: che cosa deve sopportare il materiale in un punto della trave?

Immagina di segare la trave in due in un certo punto. Ogni metà cadrebbe. Per tenerla al suo posto, l’altra metà deve sostenerla con due azioni interne:

Taglio e momento flettente: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Taglio e momento flettente: quali sono gli errori più comuni?
  • Includere carichi da entrambi i lati del taglio.
  • Usare la convenzione dei segni sbagliata per momenti positivi (che tendono le fibre inferiori) e negativi.
  • Rispondere con il taglio quando è richiesto il momento flettente.
Taglio e momento flettente: che cosa si esercita?
  • Facile: carico concentrato
  • Media: carico distribuito su tutta la luce
  • Difficile: carico concentrato + distribuito

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Reazioni vincolari delle travi

Poi continua con

Freccia della trave

Calcolatrici

Calcolatore dei diagrammi del taglio e del momento flettenteCalcolatore della tensione di flessione (σ = My/I)

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Scheda di esercizi di Taglio e momento flettente con soluzioni
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