Reazioni vincolari delle travi: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: reazioni vincolari · travi isostatiche
Esercizi gratuiti su Reazioni vincolari delle travi con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: 1 carico concentrato, 2 carichi concentrati, carico concentrato + distribuito.
Esercizio gratuitoFacile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
Come risolvere gli esercizi di Reazioni vincolari delle travi
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Errori comuni
Prendere il braccio del momento dal punto sbagliato.
Dimenticare di convertire un carico distribuito nella sua risultante.
Confondere quale vincolo fornisce quale reazione.
Formule chiave
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Impara Reazioni vincolari delle travi da zero
1Che cosa sono le reazioni vincolari
Una trave è un elemento lungo e rettilineo che porta i carichi attraverso uno spazio vuoto, come una mensola, un travetto di solaio o un piccolo ponte.
La trave poggia su appoggi (vincoli). Quando i carichi spingono la trave verso il basso, gli appoggi spingono verso l’alto. Queste forze verso l’alto sono le reazioni vincolari.
Qui un carico di 10 kN è esattamente al centro. Per simmetria ogni appoggio ne porta la metà: RA = RB = 5 kN.
Quando il carico non è al centro, l’appoggio più vicino porta di più. Trovare esattamente quanto è l’argomento di questa lezione.
Ti servono prima le reazioni per quasi ogni altra domanda sulle travi: taglio, momento flettente, tensione e deformazione.
Autoverifica Una trave su due appoggi porta 10 kN esattamente a metà campata. Qual è la reazione in ciascun appoggio?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Risposta: 5 kN. Le due reazioni insieme devono portare tutti i 10 kN, e per simmetria sono uguali: 10/2 = 5 kN. 10 kN per ogni appoggio porterebbe il carico due volte.
2Appoggi, momenti ed equilibrio
Ogni tipo di appoggio può reagire a modo suo.
Un carrello (B in figura) può spingere solo ad angolo retto rispetto alla superficie su cui rotola. Dà una reazione verticale.
Una cerniera (A) impedisce alla trave di muoversi in qualsiasi direzione. Dà una reazione verticale e una orizzontale. Con soli carichi verticali, quella orizzontale è zero.
Un vincolo di incastro, come un muro, impedisce alla trave anche di ruotare. Dà una forza verticale e un momento reattivo.
Un momento è l’effetto rotatorio di una forza attorno a un punto. È la forza per la sua distanza perpendicolare da quel punto:
M = F · d
Una trave a riposo non si muove e non ruota. Quindi valgono tre equazioni di equilibrio:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
L’equazione dei momenti vale rispetto a qualsiasi punto. Scegli un appoggio come quel punto: la sua reazione ha distanza nulla, quindi esce dall’equazione.
Autoverifica Una forza di 6 kN agisce a 2 m dal punto A. Qual è il suo momento rispetto ad A?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Risposta: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Dividere (3) o sommare (8) la forza e la distanza sono le distrazioni più comuni.
3Carichi distribuiti
Alcuni carichi sono distribuiti lungo la trave, come il peso di un solaio o della neve. Un carico uniformemente distribuito (UDL) ha lo stesso valore w a ogni metro, in kN/m.
Per le reazioni puoi sostituire un UDL con un’unica forza. Il suo valore è il carico per metro per la lunghezza caricata, e agisce a metà della parte caricata:
W = w · ℓ
In figura, ℓ = 3 m, quindi W = 4 · 3 = 12 kN. Agisce a metà del carico, a x = 1 + 1,5 = 2,5 m da A.
Una mensola è incastrata a un solo estremo, come un balcone. Il muro dà una forza verso l’alto e un momento. Per un carico all’estremità P a distanza L: RA = P e MA = P·L.
In questa mensola, RA = 5 kN e MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Autoverifica Un UDL di 4 kN/m agisce da x = 1 m a x = 4 m. Quale forza unica lo sostituisce, e dove?
12 kN a x = 1,5 m
12 kN a x = 2 m
12 kN a x = 2,5 m
4 kN a x = 2,5 m
Risposta: 12 kN a x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN a metà del carico, 1 + 1,5 = 2,5 m da A. 1,5 m è misurato dall’inizio del carico, non da A. 2 m è la metà dell’intera campata, non della parte caricata.
4Il metodo passo dopo passo
Disegna la trave e sostituisci ogni appoggio con le sue reazioni: RA sulla cerniera e RB sul carrello.
Sostituisci ogni UDL con una forza unica w·ℓ a metà della parte caricata.
Prendi i momenti rispetto ad A. RA esce dall’equazione, quindi ottieni direttamente RB: RB·L = Σ(ogni carico × la sua distanza da A).
Usa ΣFy = 0: RA = (carico totale) − RB.
Verifica: prendi i momenti rispetto a B. Dovresti ottenere lo stesso RA.
Regola dei segni per il passaggio 3: la reazione RB fa ruotare la trave in un verso attorno ad A, i carichi verso il basso la fanno ruotare nell’altro. I loro momenti devono bilanciarsi.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Una trave appoggiata di campata 6 m porta P1 = 12 kN a 2 m da A e P2 = 6 kN a 4 m da A. Trova RA e RB.
1
Disegna il diagramma di corpo libero
La cerniera in A e il carrello in B danno ciascuno una reazione verso l’alto. Ci sono due incognite, quindi bastano due equazioni.
2
Momenti rispetto ad A
RA passa per A, quindi non ha momento rispetto ad A. I carichi fanno ruotare la trave in senso orario, RB la fa ruotare in senso antiorario:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Equilibrio delle forze verticali
Le due reazioni insieme portano il carico totale di 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Controlla il risultato
Prendi invece i momenti rispetto a B. Le distanze da B sono 4 m per P1 e 2 m per P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Entrambi i percorsi concordano. RA è la maggiore, e ha senso: il carico più pesante è più vicino ad A.
Risposta
RA = 10 kN e RB = 8 kN.
6Errori comuni
Misurare una distanza dal punto sbagliato. In un’equazione dei momenti rispetto ad A, ogni distanza è misurata da A.
Scambiare le reazioni. Prendere i momenti rispetto ad A dà RB, non RA.
Dimenticare di trasformare un UDL in una forza unica w·ℓ, oppure collocare quella forza a metà campata invece che a metà del carico.
Confondere i versi di rotazione, così che un carico e una reazione ricevano lo stesso segno nell’equazione dei momenti.
Non verificare. Una seconda equazione dei momenti rispetto a B individua la maggior parte delle sviste in pochi secondi.
Autoverifica Una trave di 4 m su due appoggi porta 8 kN a 1 m da A. Quanto vale RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Risposta: 6 kN. Momenti rispetto ad A: RB·4 = 8·1, quindi RB = 2 kN e RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN è RB: l’appoggio più vicino al carico porta di più.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: una trave appoggiata con un solo carico concentrato. Trovi RA o RB.
Medio: due carichi concentrati, come nell’esempio svolto.
Difficile: un carico concentrato insieme a un UDL su una parte della campata o su tutta. Sostituisci prima l’UDL con w·ℓ nel suo punto medio.
Altre versioni usano le stesse tre equazioni: una mensola (trova il momento all’incastro MA), un carico inclinato (usa solo la sua componente verticale, P·sin θ), una coppia applicata, una trave a sbalzo oltre un appoggio, o un carico triangolare (risultante ½·w·ℓ a un terzo della sua lunghezza dall’estremo più alto).
Leggi con attenzione le quote sotto la trave e scrivi ogni distanza da A prima di iniziare.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 4 mP = 55 kN in 2 m
Calcola RB(kN)
Mostra i suggerimenti
Usa l’equilibrio statico: ΣFy = 0 e ΣM = 0. Due incognite, due equazioni.
Prendi i momenti rispetto ad A. RA passa per A, quindi scompare e ottieni direttamente RB.
Il carico totale verso il basso è 55 kN, quindi RA + RB = 55 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Risposta
RB = 27,5 kN
Esempio 2Media
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 6 mP1 = 15 kN in 2 mP2 = 30 kN in 3 m
Calcola RB(kN)
Mostra i suggerimenti
Usa l’equilibrio statico: ΣFy = 0 e ΣM = 0. Due incognite, due equazioni.
Prendi i momenti rispetto ad A. RA passa per A, quindi scompare e ottieni direttamente RB.
Il carico totale verso il basso è 45 kN, quindi RA + RB = 45 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Risposta
RB = 20 kN
Esempio 3Difficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 3 m da A, inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 2 m da A. Trova il modulo della reazione totale RA nella cerniera A.
L = 4 mP = 25 kN in 3 m, θ = 30°Q = 25 kN in 2 m
Calcola RA(kN)
Mostra i suggerimenti
Scomponi P in P·cos θ (orizzontale) e P·sin θ (verticale). Il carrello non assorbe forze orizzontali.
Trova RB dai momenti rispetto ad A, poi Ay da ΣFy = 0 e Ax da ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Componenti di P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Reazioni
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Risultante in A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Risposta
RA = 26,7 kN
Domande e risposte
Reazioni vincolari delle travi: di cosa si tratta?
Una trave è un elemento lungo e rettilineo che porta i carichi attraverso uno spazio vuoto, come una mensola, un travetto di solaio o un piccolo ponte.
La trave poggia su appoggi (vincoli). Quando i carichi spingono la trave verso il basso, gli appoggi spingono verso l’alto. Queste forze verso l’alto sono le reazioni vincolari.
Reazioni vincolari delle travi: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Reazioni vincolari delle travi: quali sono gli errori più comuni?
Prendere il braccio del momento dal punto sbagliato.
Dimenticare di convertire un carico distribuito nella sua risultante.
Confondere quale vincolo fornisce quale reazione.
Reazioni vincolari delle travi: che cosa si esercita?
Facile: 1 carico concentrato
Media: 2 carichi concentrati
Difficile: carico concentrato + distribuito
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