Conduzione del calore: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: legge di Fourier · resistenza termica · trasmissione del calore
Esercizi gratuiti su Conduzione del calore con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: parete singola, parete composta, parete con convezione.
Esercizio gratuitoFacile
Una parete di polistirene espanso è spessa 10 mm e ha un’area di 6 m². Le sue facce sono mantenute a 24 °C e -11 °C. Trova il flusso termico per conduzione Q̇ attraverso la parete.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
Il calore fluisce sempre dal caldo al freddo. All’interno di un solido viaggia per conduzione: le particelle che vibrano veloci sul lato caldo trasmettono la loro energia alle vicine.
In una giornata invernale, il calore esce da una stanza calda attraverso le pareti in questo modo. Quanto ne esce dipende dalla differenza di temperatura, dall’area della parete, dal suo spessore e dal materiale.
I materiali differiscono enormemente. La conducibilità termicak, in W/(m·K), indica con quanta facilità il calore passa:
Calcestruzzo: circa 1,4 W/(m·K). Mattone: circa 0,72.
Legno: circa 0,17.
Lana minerale: circa 0,04. Polistirene espanso: circa 0,035.
Un k basso significa un buon isolante. Per questo le case hanno uno strato di lana o schiuma all’interno della parete.
In questo argomento le temperature non cambiano nel tempo. Questa si chiama conduzione stazionaria.
Autoverifica Quale parete lascia passare meno calore, se tutte sono spesse 100 mm?
Calcestruzzo (k = 1,4)
Lana minerale (k = 0,04)
Legno (k = 0,17)
Mattone (k = 0,72)
Risposta: Lana minerale (k = 0,04). Il flusso di calore è proporzionale a k. La lana minerale ha di gran lunga la conducibilità più bassa, quindi isola meglio.
2La legge di Fourier e la resistenza termica
Per una parete piana di spessore L e area A, con le facce a T1 e T2, la potenza termica in watt è data dalla legge di Fourier:
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
La temperatura scende in linea retta attraverso la parete. Il flusso termico (densità di flusso) è il flusso per metro quadrato: q″ = Q̇ / A, in W/m².
Aiuta pensare alla parete come a un resistore, proprio come in un circuito elettrico. La differenza di temperatura spinge il calore, e la parete vi si oppone:
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
La resistenza termica R è in K/W. Una parete più spessa o un k più basso dà una resistenza più alta e meno perdita di calore. Una differenza di temperatura in °C è lo stesso numero in K.
Autoverifica Una parete di calcestruzzo (k = 1,4 W/(m·K)) è spessa 200 mm con un’area di 10 m². Le sue facce sono a 20 °C e 0 °C. Qual è il flusso di calore?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Risposta: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. Usare L = 200 (mm) dà 1,4 W, e dimenticare l’area dà 140 W.
3Pareti con più strati
Una parete reale ha strati: mattone, isolante, cartongesso. Lo stesso calore attraversa ogni strato uno dopo l’altro, quindi gli strati sono resistenze in serie. Sommale:
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Ogni strato assorbe una parte della caduta totale di temperatura in proporzione alla sua resistenza: ΔT1 = Q̇ · R1. Lo strato isolante assorbe la caduta maggiore.
Anche l’aria a contatto con una parete oppone resistenza al calore. Questa resistenza di convezione è R = 1/(h · A), dove h è il coefficiente di convezione in W/(m²·K). Sommala in serie come uno strato.
La trasmittanza (valore U) riassume un’intera parete, comprese le pellicole d’aria, come flusso di calore per m² per kelvin:
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4Il metodo passo dopo passo
Disegna la parete con i suoi strati. Scrivi ogni spessore in metri e ogni k accanto.
Calcola la resistenza di ogni strato: R = L/(k·A). Con l’aria su un lato, aggiungi R = 1/(h·A) per quel lato.
Somma tutte le resistenze in serie.
Trova il flusso di calore: Q̇ = (differenza di temperatura totale) / Rtot.
Per una temperatura all’interno della parete, parti da una temperatura nota e sottrai Q̇ · R per ogni strato attraversato.
Un buon controllo: le cadute di temperatura attraverso tutti gli strati devono sommare alla differenza di temperatura totale.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Una parete è fatta di 200 mm di mattone (k = 0,72 W/(m·K)) e 50 mm di lana minerale (k = 0,04 W/(m·K)), con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 20 °C e 0 °C. Trova il flusso di calore attraverso la parete e la temperatura all’interfaccia tra gli strati.
1
Disegna la parete
Il calore fluisce dal lato a 20 °C attraverso il mattone, poi attraverso la lana, fino al lato a 0 °C.
2
Resistenza di ogni strato
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
Il sottile strato di lana oppone molta più resistenza del grosso strato di mattone.
3
Resistenza totale e flusso di calore
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Temperatura all’interfaccia
Parti dalla faccia calda e attraversa il mattone:
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Controlla il risultato
La caduta attraverso la lana è 130,9 · 0,125 = 16,4 K, da 16,4 °C fino a 0 °C. Le due cadute, 3,6 K + 16,4 K, sommano ai 20 K completi.
Risposta
Q̇ ≈ 131 W, e l’interfaccia è a Ti ≈ 16,4 °C.
6Errori comuni
Lasciare lo spessore in mm. I valori di k sono per metro, quindi L deve essere in metri.
Fare la media dei valori di k di due strati, o sommarli. Somma invece le resistenze L/(k·A).
Dimenticare l’area: R = L/(k·A) per l’intera parete, R = L/k per un metro quadrato.
Partire dal lato sbagliato quando si trova una temperatura di interfaccia. La temperatura scende sempre nel verso del flusso di calore.
Tralasciare le pellicole d’aria (1/(h·A)) quando sono date le temperature dell’aria interna ed esterna.
Autoverifica Un metro quadrato di parete ha 100 mm di lana minerale (k = 0,04) e 100 mm di mattone (k = 0,72). Le facce differiscono di 20 K. Qual è il flusso di calore?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Risposta: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, quindi Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Fare la media di k dà 38 W, e ignorare il mattone dà 8 W.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: una singola parete. Trova il flusso di calore Q̇ o la densità di flusso q″ con la legge di Fourier.
Medio: una parete composta da due strati. Trova il flusso di calore, o la temperatura Ti all’interfaccia tra gli strati.
Difficile: una parete con convezione su entrambi i lati, tra aria interna ed esterna. Trova la trasmittanza (valore U), la dispersione di calore, o la temperatura Ts della superficie interna.
Per la temperatura della superficie interna, parti dall’aria della stanza e attraversa solo la pellicola d’aria interna: Ts = Tstanza − Q̇ / (hi · A).
Esempio: la parete precedente con h = 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno ha Rtot = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, quindi U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Una parete di legno è spessa 150 mm e ha un’area di 6 m². Le sue facce sono mantenute a 20 °C e -9 °C. Trova il flusso termico per conduzione Q̇ attraverso la parete.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Calcola Q̇(W)
Mostra i suggerimenti
Legge di Fourier per una parete piana: Q̇ = k·A·ΔT/L.
Converti lo spessore in metri così le unità di k corrispondono.
ΔT = 29 K.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Legge di Fourier
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Risposta
Q̇ = 197,2 W
Esempio 2Media
Una parete è composta da 50 mm di lana minerale e 50 mm di legno, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 25 °C e 5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Calcola Ti(°C)
Mostra i suggerimenti
Ogni strato è una resistenza termica R = L/(kA). In serie si sommano.
Lo stesso Q̇ attraversa entrambi gli strati, quindi Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Risposta
Ti = 8,81 °C
Esempio 3Difficile
Una parete di 100 mm lana minerale e 25 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -7 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Calcola U(W/(m²·K))
Mostra i suggerimenti
Somma quattro resistenze in serie: convezione interna, due strati conduttivi, convezione esterna.
U è il flusso termico per unità di area e per grado: U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Risposta
U = 0,3492 W/(m²·K)
Domande e risposte
Conduzione del calore: di cosa si tratta?
Il calore fluisce sempre dal caldo al freddo. All’interno di un solido viaggia per conduzione: le particelle che vibrano veloci sul lato caldo trasmettono la loro energia alle vicine.
In una giornata invernale, il calore esce da una stanza calda attraverso le pareti in questo modo. Quanto ne esce dipende dalla differenza di temperatura, dall’area della parete, dal suo spessore e dal materiale.
Conduzione del calore: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Conduzione del calore: che cosa si esercita?
Facile: parete singola
Media: parete composta
Difficile: parete con convezione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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