Tensione e deformazione assiale: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: sforzo normale · legge di Hooke · trazione e compressione

Esercizi gratuiti su Tensione e deformazione assiale con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: tensione normale, deformazione e allungamento, barra a gradini.

Esercizio gratuitoFacile
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 100 mm, diametro interno 50 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 80 kN. Trova la tensione di compressione σr nell’asta.

P = 80 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
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Su cosa ti eserciti

  1. Faciletensione normale
  2. Mediadeformazione e allungamento
  3. Difficilebarra a gradini

Formule chiave

Tensione normale
σ = F/A
Deformazione
ε = ΔL/L
Legge di Hooke
σ = E·ε
Allungamento
ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica
εT = α·ΔT

Impara Tensione e deformazione assiale da zero

1Che cos’è la tensione

Tira un’asta d’acciaio e lei resiste. Se si rompe o no non dipende dalla sola forza, ma da quanto materiale condivide quella forza.

Un filo sottile e un cavo spesso possono sostenere lo stesso carico. Il filo sottile ha molte più probabilità di cedere, perché ogni suo millimetro quadrato sopporta di più.

dLP

La tensione normale σ (sigma) è la forza per unità di area della sezione trasversale. La forza P agisce lungo l’asse della barra, quindi si parla di carico assiale.

σ = P / A

Gli ingegneri lavorano in newton e millimetri. Un newton per millimetro quadrato è un megapascal:

1 N/mm² = 1 MPa

Quindi converti prima i kN in N (× 1000). Per una barra tonda di diametro d, l’area è quella di un cerchio:

A = π · d² / 4
Autoverifica Una barra con sezione di 100 mm² sopporta 10 kN. Qual è la tensione?
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

Risposta: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa deriva dal dimenticare di convertire i kN in N.

2Deformazione e legge di Hooke

Sotto carico la barra si allunga anche un poco. Questa variazione di lunghezza è l’allungamento δ (delta).

dLδP

La deformazione ε (epsilon) è l’allungamento diviso per la lunghezza iniziale. Non ha unità, perché è mm per mm:

ε = δ / L

Le deformazioni nei metalli sono minuscole, quindi si danno spesso in microdeformazioni: 1 µε = 10⁻⁶. Una deformazione di 0,0008 è 800 µε.

Per la maggior parte dei materiali, tensione e deformazione sono proporzionali finché il carico non è troppo grande. Questa è la legge di Hooke:

σ = E · ε

E è il modulo di Young, la rigidezza del materiale. L’acciaio ha E ≈ 200 GPa, l’alluminio circa 70 GPa. Poiché 1 GPa = 1000 MPa, l’acciaio ha E = 200 000 MPa.

Combinando le tre formule si ottiene direttamente l’allungamento:

δ = P · L / (A · E)
Autoverifica Una barra d’acciaio (E = 200 GPa) ha una tensione di 200 MPa. Qual è la deformazione?
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

Risposta: 0,001. Converti E in MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Poi ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Dividere 200 per 200 senza convertire dà 1, che è molto troppo grande.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Scrivi tutti i valori in N e mm: P in N (kN × 1000), lunghezze in mm (m × 1000), E in MPa (GPa × 1000).
  2. Trova l’area: A = π·d²/4 per una barra tonda.
  3. Trova la tensione: σ = P/A, in MPa.
  4. Trova la deformazione: ε = σ/E. Moltiplica per 10⁶ se la risposta è richiesta in µε.
  5. Trova l’allungamento: δ = ε·L, in mm.

Fermati al passaggio richiesto dalla domanda. La maggior parte delle domande usa solo i primi due o tre passaggi.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una barra d’acciaio (E = 200 GPa) ha un diametro di 20 mm e una lunghezza di 2 m. Sopporta un carico assiale di trazione di 50 kN. Trova la tensione, la deformazione e l’allungamento.

1

Osserva la barra e converti le unità

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm ed E = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

Area

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

Tensione

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Questo è ben al di sotto della resistenza di un acciaio comune (circa 250 MPa), quindi la legge di Hooke si applica.

4

Deformazione

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

Allungamento

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

Controlla il risultato

Usa la formula combinata come seconda via:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Una barra d’acciaio di 2 m che si allunga di circa 1,6 mm è realistica: le deformazioni dell’acciaio restano ben al di sotto dello 0,2 %.

Risposta

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε e δ = 1,59 mm.

5Barre con più di un tratto

Una barra a gradini è formata da tratti con diametri diversi, e talvolta materiali diversi.

A1​L1​A2​L2​P

Taglia la barra in un punto qualsiasi e osserva la parte a destra del taglio. Su di essa tira solo P, quindi ogni tratto sopporta la stessa forza P.

Le aree sono diverse, quindi le tensioni sono diverse. Il tratto più sottile ha la tensione maggiore.

Ogni tratto si allunga per conto suo, con i propri A, L ed E. L’allungamento totale è la somma:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
Autoverifica Una barra a gradini sopporta 20 kN. Il tratto 1 ha A = 400 mm², il tratto 2 ha A = 100 mm². Qual è la tensione maggiore nella barra?
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

Risposta: 200 MPa. Entrambi i tratti sopportano 20 kN. Quello sottile ha 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa è il tratto spesso, 40 MPa somma erroneamente le aree e 250 MPa somma erroneamente le due tensioni.

6Errori comuni

  • Dimenticare di convertire i kN in N, il che rende la tensione 1000 volte troppo piccola.
  • Usare E in GPa accanto a una tensione in MPa. Scrivi E in MPa (GPa × 1000).
  • Usare π·d² o π·d invece di π·d²/4 per l’area di un cerchio.
  • Lasciare L in metri mentre δ dovrebbe risultare in millimetri.
  • Dividere P tra i tratti di una barra a gradini. Ogni tratto sopporta l’intero P.
Autoverifica Una barra con A = 30 mm² sopporta P = 6 kN. Qual è la tensione?
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Risposta: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa usa 6 invece di 6000 N; 5 MPa divide l’area per la forza; 180 le moltiplica.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: tensione normale. Una barra tonda di diametro d sopporta P; trova σ = P/A.
  • Medio: deformazione e allungamento. Hai anche L e il modulo E del materiale; trova ε (in µε) o δ (in mm).
  • Difficile: una barra a gradini con due tratti, eventualmente di materiali diversi. Trova l’allungamento totale o la tensione maggiore.

Scrivi le unità accanto a ogni numero. Quasi tutte le risposte sbagliate in questo argomento sono sbagliate di un fattore 1000.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 100 mm, diametro interno 50 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 500 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 300 kN. Trova la tensione di compressione σr nell’asta.

P = 300 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Calcola σr (MPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Piastre rigide: asta e tubo si accorciano della stessa quantità, quindi ε è la stessa in entrambi.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Deformazione comune

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Tensione nell’asta

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Risposta

σr = 70,74 MPa
Esempio 2Media
Ø 20 mmOttone2,5 mP = 10 kN

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Calcola ε (µε)

Mostra i suggerimenti
  1. Concatena tre relazioni: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
  2. Converti E in MPa (GPa × 1000) per adattarlo alla tensione in MPa, e L in mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Risposta

ε = 318,3 µε
Esempio 3Difficile
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) e un tratto di alluminio (diametro 30 mm, lunghezza 500 mm, E = 70 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 40 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ2 nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Calcola σ2 (MPa)

Mostra i suggerimenti
  1. La giunzione si sposta della stessa quantità per entrambi i tratti: uno si allunga, l’altro si accorcia.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Quota del tratto 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

Tensione

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (compressione)

Risposta

σ2 = 9,821 MPa

Domande e risposte

Tensione e deformazione assiale: di cosa si tratta?

Tira un’asta d’acciaio e lei resiste. Se si rompe o no non dipende dalla sola forza, ma da quanto materiale condivide quella forza.

Un filo sottile e un cavo spesso possono sostenere lo stesso carico. Il filo sottile ha molte più probabilità di cedere, perché ogni suo millimetro quadrato sopporta di più.

Tensione e deformazione assiale: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Tensione e deformazione assiale: quali sono gli errori più comuni?
  • I due materiali non si dividono la tensione in parti uguali: si dividono la deformazione. Quello più rigido è più sollecitato.
  • Il tubo porta una parte del carico.
  • Questa è la tensione nel tubo.
Tensione e deformazione assiale: che cosa si esercita?
  • Facile: tensione normale
  • Media: deformazione e allungamento
  • Difficile: barra a gradini

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