Rotazione del corpo rigido: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è la rotazione di un corpo rigido

Un corpo rigido è un oggetto che mantiene la propria forma: un volano, una puleggia, una porta o una ruota che rotola. In questo argomento il corpo ruota attorno a un asse.

Ogni punto del corpo ruota dello stesso angolo nello stesso tempo. Quindi si descrive il moto con grandezze angolari invece che con distanze:

• θ: l’angolo descritto, in radianti (rad). Un giro completo è 2π rad.
• ω: la velocità angolare, in rad/s.
• α: l’accelerazione angolare, in rad/s².

Le macchine danno le velocità in giri al minuto (rpm). Convertile prima di calcolare:

Un punto a distanza r dall’asse si muove con velocità v = ω·r e ha accelerazione a = α·r lungo la sua traiettoria.

Tutto ciò che sai sul moto rettilineo ha un gemello rotatorio: la forza diventa momento, la massa diventa momento d’inerzia, e ΣF = m·a diventa ΣM = I·α.

2Il momento d’inerzia

La massa ti dice quanto è difficile accelerare un corpo in linea retta. Il momento d’inerzia di massa I ti dice quanto è difficile metterlo in rotazione.

La massa lontana dall’asse conta molto più di quella vicina, perché conta con il quadrato della sua distanza:

Non devi sommare tu i vari pezzi. Impara questi risultati standard rispetto al baricentro G:

• Asta sottile di lunghezza L, asse per il centro: m·L²/12.
• Disco pieno o cilindro di raggio R: ½·m·R².
• Anello sottile o cerchio: m·R².
• Sfera piena: (2/5)·m·R². Sfera cava: (2/3)·m·R².
• Massa puntiforme a distanza r: m·r².

Quando l’asse O non passa per G, usa il teorema degli assi paralleli (di Huygens–Steiner). Qui d è la distanza tra O e G:

Un’asta che ruota attorno a un estremo ha d = L/2, quindi I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Alcune domande danno un raggio di inerzia k invece di una forma. Allora I = m·k². Per un corpo fatto di parti, trova l’I di ciascuna parte rispetto allo stesso asse e somma.

3Momenti, energia e momento angolare

Tre strumenti risolvono quasi ogni problema di rotazione. Scegli quello che corrisponde alla domanda.

1. Momenti. La somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α. Usala per accelerazioni e forze.

Con una coppia costante il moto angolare ha α costante, e le equazioni della cinematica hanno gemelle rotatorie: ω = ω₀ + α·t e ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Energia. Un corpo in rotazione immagazzina energia cinetica. Una coppia T che ruota di un angolo θ compie lavoro, e la potenza di un albero rotante è la coppia per la velocità angolare:

Un corpo che rotola senza strisciare si muove e ruota nello stesso tempo, con v = ω·r. Ha entrambi i tipi di energia cinetica:

Il numero c dipende solo dalla forma: 0,4 per una sfera piena, 0,5 per un cilindro pieno, 2/3 per una sfera cava e 1 per un cerchio. Su un piano inclinato, a = g·sin θ / (1 + c).

3. Momento angolare. L = I·ω. Quando non agisce alcun momento esterno rispetto all’asse, L resta lo stesso, anche quando i corpi si uniscono e l’energia cinetica viene persa:

4Il metodo passo dopo passo

1. Disegna il corpo e scegli l’asse: il perno fisso o l’albero, oppure il centro per un corpo che rotola.
2. Trova il momento d’inerzia rispetto a quell’asse. Usa i risultati standard e aggiungi m·d² quando l’asse è spostato.
3. Converti ogni velocità in rpm in rad/s con ω = 2π·n/60.
4. Scegli lo strumento. Accelerazioni e forze: ΣM = I·α (con ΣF = m·a per le parti che si muovono in linea retta). Velocità dopo una distanza o un angolo: energia. Urti, prese improvvise e corpi che ritirano la loro massa verso l’asse: momento angolare.
5. Collega il moto rettilineo e quello rotatorio dove una fune o un contatto di rotolamento li uniscono: v = ω·r e a = α·r.
6. Risolvi, e verifica il risultato con un secondo strumento se puoi.

Per un corpo appeso a una fune avvolta attorno a una puleggia, disegna due diagrammi di corpo libero: uno per il blocco (forze) e uno per la puleggia (momenti). La tensione della fune compare in entrambi.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

6Errori comuni

• Lasciare le velocità in rpm in ω, E = ½·I·ω² o P = T·ω. Converti prima in rad/s.
• Usare il momento d’inerzia rispetto al centro per un corpo che ruota attorno a un estremo. Aggiungi m·d².
• Dimenticare l’energia cinetica rotazionale di un corpo che rotola o di una puleggia.
• Trattare come massa puntiforme una sfera o un disco all’estremo di un’asta. Aggiungi anche il suo I rispetto al proprio centro.
• Supporre che l’energia cinetica si conservi quando i corpi si agganciano o si uniscono. Usa invece il momento angolare.
• Contare i giri in radianti: N = θ/(2π).

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: momento d’inerzia. Un’asta rispetto a un asse spostato, un pendolo fatto di un’asta e una sfera o un disco, l’energia cinetica di un volano, o la coppia o il tempo necessari per mettere in rotazione un volano.
• Medio: ΣM = I·α, lavoro e potenza. Un’asta rilasciata dalla posizione orizzontale, un blocco su una puleggia, i giri compiuti da un volano frenato, la coppia o la potenza di un albero, o la velocità di un’asta oscillante.
• Difficile: rotolamento e momento angolare. Una sfera, un cilindro o un cerchio che rotola lungo un piano inclinato, l’attrito necessario per rotolare, la quota di energia rotazionale, un anello lasciato cadere su un disco in rotazione, una persona che ritira dei manubri, o un proiettile che colpisce un’asta appesa.

Per un volano frenato, il freno compie un lavoro pari all’energia immagazzinata: T·θ = ½·I·ω². Dividi θ per 2π per ottenere i giri.

Un’asta incernierata a un estremo e rilasciata dalla posizione orizzontale ha α = 3·g/(2·L) subito dopo il rilascio. Il suo estremo libero accelera di 1,5·g.

Per un proiettile che si conficca in un’asta, il momento angolare rispetto al perno si conserva: m·v·d = (I_asta + m·d²)·ω.