Cicli termodinamici a gas: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Cicli termodinamici a gas con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: ciclo Otto, ciclo Diesel, ciclo Brayton.

Esercizio gratuitoFacile
vP1234qin​qout​

Un ciclo Otto ideale ha un rapporto di compressione di 10,5. All’inizio della compressione l’aria è a 295 K, e la temperatura massima del ciclo è 1800 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 10,5T1 = 295 KT3 = 1800 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)
kJ/kg
Esercizio successivo →
Esercitati su Cicli termodinamici a gas gratisEsercitati su Cicli termodinamici a gas ora5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.

Su cosa ti eserciti

  1. Facileciclo Otto
  2. Mediaciclo Diesel
  3. Difficileciclo Brayton

Formule chiave

Isoentropica, rapporto dei volumi
T2/T1 = rk−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendimento Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendimento Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendimento Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Calore fornito
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Brayton: cp(T3 − T2)
Lavoro netto Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendimenti isoentropici
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Aria fredda
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Impara Cicli termodinamici a gas da zero

Prima di questo: Macchine termiche e frigorifere, Legge dei gas ideali

1Che cos’è un ciclo a gas

I motori delle auto e le turbine a gas sono macchine termiche che usano l’aria come gas di lavoro. L’aria viene compressa, riscaldata bruciando combustibile, si espande mentre spinge su un pistone o una turbina, e viene poi espulsa.

I motori reali sono complicati. Per calcolarli, gli ingegneri usano il modello ad aria standard: una quantità fissa di aria percorre un ciclo chiuso di quattro semplici trasformazioni, e la combustione del combustibile è sostituita da un apporto di calore.

Con le ipotesi di aria standard fredda l’aria è un gas ideale con proprietà costanti: k = cp/cv = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K).

Incontrerai tre cicli:

  • Otto: il motore a benzina. Il calore viene fornito a volume costante, come una scintilla che brucia il combustibile quasi istantaneamente.
  • Diesel: il motore diesel. Il calore viene fornito a pressione costante mentre il pistone si muove.
  • Brayton: la turbina a gas. L’aria passa attraverso un compressore, una camera di combustione e una turbina.

Il numero più importante di un motore a pistoni è il suo rapporto di compressione r = v1/v2: il volume maggiore diviso per il volume minore.

Autoverifica Un cilindro contiene 0,5 L quando il pistone è in basso e 0,05 L quando è in alto. Qual è il rapporto di compressione?
  1. 0,1
  2. 0,45
  3. 10
  4. 9

Risposta: 10. r = volume maggiore / volume minore = 0,5/0,05 = 10. Dividere al contrario dà 0,1, e la differenza dei volumi (0,45 L) non è un rapporto.

2Trasformazioni isentropiche e ciclo Otto

Nel ciclo ideale, compressione ed espansione avvengono senza attrito e senza scambio di calore. Una trasformazione di questo tipo si dice isentropica. Per un gas ideale la temperatura segue allora il rapporto dei volumi:

T2 / T1 = rk−1 = r0,4

Comprimere l’aria a un ottavo del suo volume la riscalda da 300 K a circa 689 K. Per questo un motore diesel non ha bisogno di una scintilla.

Il ciclo Otto ha quattro trasformazioni, mostrate su un diagramma pressione–volume:

vp1234qin​qout​v2​v1​
  1. 1 → 2: compressione isentropica. T aumenta del fattore r0,4.
  2. 2 → 3: calore fornito a volume costante: qin = cv·(T3 − T2).
  3. 3 → 4: espansione isentropica. T diminuisce dello stesso fattore r0,4.
  4. 4 → 1: calore ceduto a volume costante: qout = cv·(T4 − T1).

Il lavoro netto per chilogrammo è w = qin − qout, e il rendimento dipende solo dal rapporto di compressione:

ηOtto = 1 − 1 / rk−1
Autoverifica Qual è il rendimento termico di un ciclo Otto ideale con rapporto di compressione 10? (k = 1,4)
  1. 39,8%
  2. 60,2%
  3. 90%
  4. 96,0%

Risposta: 60,2%. 100,4 = 2,512, quindi η = 1 − 1/2,512 = 60,2%. Omettere l’esponente dà 1 − 1/10 = 90%; 39,8% è 1/r0,4, la parte che viene persa.

3Cicli Diesel e Brayton

Il ciclo Diesel fornisce il suo calore a pressione costante. Il volume cresce durante il riscaldamento del rapporto di cut-off rc = v3/v2. A pressione costante la temperatura cresce dello stesso fattore:

T3 = rc · T2 qin = cp · (T3 − T2)
ηDiesel = 1 − (1 / rk−1) · (rck − 1) / (k · (rc − 1))

Il ciclo Brayton di una turbina a gas è descritto dal rapporto di pressione rp = p2/p1 invece che da un rapporto di volume. La regola isentropica ha allora un esponente diverso:

T2 / T1 = rp(k−1)/k = rp0,2857
ηBrayton = 1 − 1 / rp(k−1)/k

Il compressore consuma lavoro e la turbina ne fornisce. Il lavoro netto per chilogrammo è ciò che resta:

wnet = cp · [(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Autoverifica Qual è il rendimento di un ciclo Brayton ideale con rapporto di pressione 8? (k = 1,4)
  1. 44,8%
  2. 55,2%
  3. 56,5%
  4. 87,5%

Risposta: 44,8%. 80,2857 = 1,811, quindi η = 1 − 1/1,811 = 44,8%. Usare l’esponente dei volumi 0,4 (la formula di Otto) dà 56,5%, che è sbagliato per un rapporto di pressione.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Individua il ciclo (Otto, Diesel o Brayton) e numera i quattro stati da 1 a 4, partendo prima della compressione.
  2. Converti ogni temperatura in kelvin.
  3. Compressione 1 → 2: T2 = T1·r0,4 per un rapporto di volume, oppure T1·rp0,2857 per un rapporto di pressione.
  4. Apporto di calore 2 → 3: usa cv per Otto (volume costante), cp per Diesel e Brayton (pressione costante).
  5. Espansione 3 → 4: dividi T3 per lo stesso tipo di fattore (per Diesel usa v4/v3 = r/rc).
  6. Trova qout, poi w = qin − qout e η = w/qin. Confronta η con la formula di quel ciclo come controllo.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un ciclo Otto ideale ha un rapporto di compressione di 8. All’inizio della compressione l’aria è a 300 K, e la temperatura massima del ciclo è 1800 K. Usa le ipotesi di aria standard fredda (k = 1,4, cv = 0,718 kJ/(kg·K)). Trova il rendimento e il lavoro netto per chilogrammo di aria.

1

Disegna il ciclo

vp1234qin​qout​v2​v1​

Lo stato 1 è 300 K. La temperatura massima è nello stato 3, quindi T3 = 1800 K. Ci servono T2 e T4.

2

Compressione 1 → 2

r0,4 = 80,4 = 2,297
T2 = 300 · 2,297 = 689,2 K
3

Calore fornito 2 → 3

Il calore entra a volume costante, quindi usa cv:

qin = 0,718 · (1800 − 689,2) = 797,5 kJ/kg
4

Espansione e calore ceduto

T4 = 1800 / 2,297 = 783,5 K
qout = 0,718 · (783,5 − 300) = 347,1 kJ/kg
5

Lavoro netto e rendimento

w = 797,5 − 347,1 = 450,4 kJ/kg
η = 450,4 / 797,5 = 0,565 = 56,5%
6

Controlla il risultato

La formula di Otto dà η = 1 − 1/2,297 = 56,5%. È lo stesso, quindi le temperature sono giuste.

Risposta

η ≈ 56,5% e w ≈ 450 kJ/kg.

6Errori comuni

  • Usare i °C nella relazione isentropica. T2/T1 = r0,4 funziona solo in kelvin.
  • Usare l’esponente k − 1 = 0,4 con un rapporto di pressione. Un rapporto di pressione richiede (k − 1)/k = 0,2857.
  • Usare cp per il ciclo Otto o cv per Diesel e Brayton. Il volume costante va con cv, la pressione costante con cp.
  • Dimenticare il lavoro del compressore in un ciclo Brayton: il lavoro netto è il lavoro della turbina meno il lavoro del compressore.
  • Usare l’esponente k invece di k − 1.
Autoverifica Aria a 27 °C viene compressa isentropicamente con rapporto di compressione 8 (k = 1,4). Qual è la temperatura dopo la compressione?
  1. 2401 K
  2. 5514 K
  3. 62,0 K
  4. 689,6 K

Risposta: 689,6 K. T1 = 300,15 K, quindi T2 = 300,15 · 80,4 = 689,6 K. Usare 27 dà 62,0, omettere l’esponente dà 2401 K, e usare l’esponente 1,4 dà 5514 K.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: il ciclo Otto. Trova il suo rendimento da r, la temperatura T2 dopo la compressione, o il lavoro netto per chilogrammo quando è data la temperatura massima.
  • Medio: il ciclo Diesel con un rapporto di compressione e un rapporto di cut-off. Trova T3 alla fine dell’apporto di calore, il calore fornito qin, o il rendimento.
  • Difficile: il ciclo Brayton di una turbina a gas. Trova il rendimento dal rapporto di pressione, o il lavoro netto per chilogrammo dalle temperature d’ingresso di compressore e turbina.

Ogni domanda ripropone i valori dell’aria standard fredda. Ti servono solo k = 1,4 e cv oppure cp.

Impara passo dopo passo nell’appImpara passo dopo passo nell’app

Esempi svolti

Esempio 1Facile
vP1234qin​qout​

Un ciclo Otto ideale ha un rapporto di compressione di 6. All’inizio della compressione l’aria è a 305 K, e la temperatura massima del ciclo è 2000 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 6T1 = 305 KT3 = 2000 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Calcola w (kJ/kg)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova T₂ dopo la compressione isoentropica.
  2. qin = cv·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/rk−1.
  3. T₂ = 624,5 K.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Ciclo Otto (motore ad accensione comandata): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a volume costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂: T₂ = T₁·rk−1 e η = 1 − 1/rk−1. Calore fornito: qin = cv·(T₃ − T₂); lavoro netto w = η·qin.

Fine della compressione

T2 = 305·60,4 = 624,5 K

Calore fornito a volume costante

qin = 0,718·(2000 − 624,5) = 987,6 kJ/kg

Lavoro netto

η = 1 − 1/60,4 = 0,5116
w = η·qin = 0,5116·987,6 = 505,3 kJ/kg

Risposta

w = 505,3 kJ/kg
Esempio 2Media
vP1234qin​qout​

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 16 e un rapporto di combustione rc = v₃/v₂ = 2,2. All’inizio della compressione l’aria è a 310 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito qin per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 16rc = 2,2T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)

Calcola qin (kJ/kg)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova T₂ (compressione isoentropica) e T₃ = rc·T₂.
  2. qin = cp·(T₃ − T₂).
  3. T₂ = 939,7 K, T₃ = 2067 K.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Temperature

T2 = 310·160,4 = 939,7 K
T3 = 2,2·939,7 = 2067 K

Calore fornito a pressione costante

qin = 1,005·(2067 − 939,7) = 1133 kJ/kg

Risposta

qin = 1133 kJ/kg
Esempio 3Difficile
vP1234qin​qout​

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 20. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

rp = 20k = 1,4

Calcola η (%)

Mostra i suggerimenti
  1. Il rendimento del ciclo Brayton ideale dipende solo dal rapporto di compressione e da k.
  2. η = 1 − 1/rp(k−1)/k.
  3. (k − 1)/k = 0,2857, rp0,2857 = 2,354.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k e η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Lavoro netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede ws/ηc e la turbina fornisce ηt·ws.

Rendimento termico

η = 1 − 1/200,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Risposta

η = 57,51%

Domande e risposte

Cicli termodinamici a gas: di cosa si tratta?

I motori delle auto e le turbine a gas sono macchine termiche che usano l’aria come gas di lavoro. L’aria viene compressa, riscaldata bruciando combustibile, si espande mentre spinge su un pistone o una turbina, e viene poi espulsa.

I motori reali sono complicati. Per calcolarli, gli ingegneri usano il modello ad aria standard: una quantità fissa di aria percorre un ciclo chiuso di quattro semplici trasformazioni, e la combustione del combustibile è sostituita da un apporto di calore.

Cicli termodinamici a gas: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Ciclo Otto (motore ad accensione comandata): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a volume costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂: T₂ = T₁·rk−1 e η = 1 − 1/rk−1. Calore fornito: qin = cv·(T₃ − T₂); lavoro netto w = η·qin.

Cicli termodinamici a gas: quali sono gli errori più comuni?
  • Questo è il calore fornito. Solo la frazione η di esso diventa lavoro netto.
  • Nel ciclo Otto il calore è fornito a volume costante: usa cv, non cp.
  • Il calore è fornito dallo stato 2 allo stato 3. Trova prima T2 dopo la compressione.
Cicli termodinamici a gas: che cosa si esercita?
  • Facile: ciclo Otto
  • Media: ciclo Diesel
  • Difficile: ciclo Brayton

Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.

Come funziona l’esercitazione

  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
  • Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
  • I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.

Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Macchine termiche e frigorifereLegge dei gas ideali

Calcolatrici

Calcolatrice del rendimento dei cicli Otto e Brayton

Corsi con questo argomento

Termodinamica applicataEsercitazione per l’esame FE Mechanical

Altri argomenti di Meccanica

Reazioni vincolari delle traviTelai e macchineTensione e deformazione assialeTorsione degli alberiCerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMoto del proiettileLavoro ed energiaRotazione del corpo rigidoVibrazioni meccanicheMacchine termiche e frigorifereContinuità e BernoulliAttrito nei condotti e perdite di caricoPompe e potenza delle pompeConduzione del caloreIngranaggi e rotismi

Scheda di esercizi stampabile

Scheda di esercizi di Cicli termodinamici a gas con soluzioni
Esercitati su Cicli termodinamici a gas gratisEsercitati su Cicli termodinamici a gas ora5 esercizi gratuiti ogni giorno. Nessuna carta richiesta.