Macchine termiche e frigorifere: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: rendimento di Carnot · pompa di calore · secondo principio della termodinamica
Esercizi gratuiti su Macchine termiche e frigorifere con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: primo principio di un ciclo, limite di Carnot, frigoriferi e pompe di calore.
Esercizio gratuitoFacile
Una pompa di calore con un coefficiente di prestazione di 2,9 fornisce 17 kW di calore a una casa. Trova la potenza termica Q̇L che preleva dall’aria esterna.
Una macchina termica trasforma calore in lavoro. Un motore d’auto, una turbina a vapore in una centrale elettrica e un motore a reazione sono tutti macchine termiche.
Ogni macchina termica funziona allo stesso modo. Prende calore QH da qualcosa di caldo, ne trasforma una parte in lavoro W, e scarica il resto QC in qualcosa di freddo.
I luoghi caldo e freddo si chiamano serbatoi termici: una fiamma, una caldaia, l’aria esterna, un fiume. Sono così grandi che le loro temperature non cambiano.
Una macchina funziona in un ciclo: dopo ogni giro è di nuovo nello stesso stato. Quindi l’energia non può accumularsi al suo interno. Ciò che entra deve uscire:
QH = W + QC
Autoverifica Una macchina assorbe 100 kJ di calore per ciclo e produce 40 kJ di lavoro. Quanto calore cede?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Risposta: 60 kJ. Energia in ingresso uguale a energia in uscita: QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Sommarli (140 kJ) conta il lavoro come un ingresso.
2Rendimento e limite di Carnot
Il rendimento termico è la quota del calore in ingresso che diventa lavoro:
η = W / QH = 1 − QC / QH
Nessuna macchina può trasformare tutto il suo calore in lavoro. C’è sempre del calore da cedere. Questo è il secondo principio della termodinamica.
La migliore macchina possibile tra due temperature è la macchina di Carnot ideale. Il suo rendimento dipende solo dalle temperature dei serbatoi, in kelvin:
ηmax = 1 − TC / TH
Converti sempre prima in kelvin: T(K) = T(°C) + 273,15. Con i °C la formula dà risultati senza senso.
Una macchina reale ha sempre η < ηmax. Una macchina che dichiara più del limite di Carnot è impossibile.
Autoverifica Qual è il massimo rendimento possibile di una macchina che lavora tra 327 °C e 27 °C?
100%
50%
8,3%
91,7%
Risposta: 50%. In kelvin: 600,15 K e 300,15 K, quindi ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50%. Inserire i valori in °C nella formula dà 1 − 27/327 = 91,7%, che è sbagliato.
3Frigoriferi e pompe di calore
Un frigorifero fa funzionare una macchina al contrario. Entra il lavoro W, e il calore viene pompato dal lato freddo al lato caldo.
Una pompa di calore è la stessa macchina, usata per riscaldare: prende calore dall’aria fredda esterna e lo porta in una casa calda. Il bilancio energetico è ancora QH = W + QC.
Invece di un rendimento, usiamo il coefficiente di prestazione (COP): ciò che vuoi, diviso per il lavoro che paghi. Di solito è maggiore di 1.
COPR = QC / W COPHP = QH / W = COPR + 1
I limiti di Carnot, ancora con le temperature in kelvin:
Autoverifica Una pompa di calore fornisce 6 kW di calore a una casa consumando 2 kW di elettricità. Quanto calore prende dall’aria esterna?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Risposta: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. Il suo COP è 6/2 = 3, quindi 3 kW è il COP, non un flusso di calore.
4Il metodo passo dopo passo
Disegna il dispositivo tra i suoi due serbatoi e traccia le frecce per QH, QC e W. Decidi se è una macchina termica o un frigorifero / pompa di calore.
Scrivi il bilancio energetico QH = W + QC. Vale per ogni dispositivo, ideale o no. Le potenze in kW funzionano come le quantità in kJ.
Se sono date le temperature, convertile in kelvin.
Usa la misura giusta: η = W/QH per una macchina termica, COPR = QC/W per un frigorifero, COPHP = QH/W per una pompa di calore.
Per il miglior dispositivo possibile, usa la formula di Carnot. Poi il calore o il lavoro incognito segue dal bilancio energetico.
“Il massimo lavoro”, “il massimo rendimento possibile”, “la potenza minima in ingresso” e “reversibile” rimandano tutti al limite di Carnot.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 500 °C e un serbatoio freddo a 25 °C. Assorbe 3000 kJ di calore per ciclo. Trova il massimo lavoro che potrebbe produrre. Un inventore dichiara 2000 kJ per ciclo: è possibile?
1
Disegna la macchina
Il massimo lavoro viene da una macchina di Carnot ideale tra gli stessi due serbatoi.
2
Converti in kelvin
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
Il rendimento di Carnot
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
Al massimo, il 61,4% del calore può diventare lavoro.
4
Il massimo lavoro
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Controlla il risultato
La macchina ideale cede QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ. Poi W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, che corrisponde al calore in ingresso.
6
Giudica l’affermazione
2000 kJ è più dei 1843 kJ che anche una macchina perfetta potrebbe fornire. L’affermazione viola il secondo principio, quindi è impossibile.
Risposta
Wmax ≈ 1843 kJ per ciclo (ηmax ≈ 61,4%), quindi un’affermazione di 2000 kJ è impossibile.
6Errori comuni
Inserire temperature in °C nelle formule di Carnot. Usa sempre i kelvin.
Confondere i due COP. Un frigorifero conta QC (calore sottratto), una pompa di calore conta QH (calore fornito).
Usare il rendimento di Carnot per una macchina reale quando sono dati i calori. Allora η = W/QH dai numeri effettivi.
Dimenticare che anche il lavoro viene ceduto come calore da un frigorifero: QH = QC + W, quindi la cucina riceve più calore di quello che il frigorifero sottrae.
Scrivere un rendimento come 61,4 invece di 0,614 in un calcolo.
Autoverifica Qual è il massimo COP possibile di un frigorifero che mantiene l’interno a 0 °C in una cucina a 27 °C?
0,91
0
10,1
11,1
Risposta: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. Mettere TH al numeratore dà il valore della pompa di calore, 11,1, e usare direttamente 0 °C dà 0.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: il primo principio per un ciclo. Da due tra QH, W e QC, trova il terzo o il rendimento. Le varianti usano centrali elettriche (MW), frigoriferi e pompe di calore con un COP dato.
Medio: il limite di Carnot. Trova ηmax o Wmax dalle temperature dei serbatoi. Altre chiedono un rendimento di secondo principio (η/ηmax), la temperatura del serbatoio freddo di una macchina reversibile, o il calore ceduto da un frigorifero reversibile.
Difficile: frigoriferi e pompe di calore al limite di Carnot: trova COPmax o la potenza minima in ingresso. Altre concatenano due dispositivi, o chiedono l’entropia generata da una macchina reale.
Per la potenza minima in ingresso: prima COPmax dalle temperature, poi Wmin = QH/COPHP,max oppure QC/COPR,max.
Per l’entropia generata per ciclo: Sgen = QC/TC − QH/TH, che deve essere zero o positiva.
Una pompa di calore con un coefficiente di prestazione di 5 fornisce 4 kW di calore a una casa. Trova la potenza termica Q̇L che preleva dall’aria esterna.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Calcola Q̇L(kW)
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L’effetto utile di una pompa di calore è il calore fornito: COPHP = Q̇H/Ẇ.
Bilancio energetico sul ciclo: Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Potenza assorbita
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Calore prelevato dall’esterno
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Risposta
Q̇L = 3,2 kW
Esempio 2Media
Una macchina termica reversibile (di Carnot) assorbe 3100 kJ di calore da un serbatoio a 625 °C e ne cede 977 kJ per ciclo. Trova la temperatura TL del serbatoio freddo in °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Calcola TL(°C)
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Per un ciclo reversibile i calori stanno nel rapporto delle temperature assolute: QL/QH = TL/TH.
Usa temperature assolute: K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Temperatura assoluta della sorgente
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Rapporto dei calori nel ciclo reversibile
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Risposta
TL = 9,912 °C
Esempio 3Difficile
Una pompa di calore mantiene una casa a 20 °C mentre fuori ci sono 2 °C, fornendo 14 kW di calore alla casa. Trova la potenza minima in ingresso Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Calcola Ẇmin(kW)
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Il COP di una pompa di calore è il calore fornito diviso il lavoro in ingresso: COP = QH/W. Il limite reversibile è TH/(TH − TL).
Usa temperature assolute: K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute TH e TL può superare il ciclo reversibile (di Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) e COPHP,max = TH/(TH − TL). L’energia si conserva sempre: QH = W + QL.
Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Risposta
Ẇmin = 0,8596 kW
Domande e risposte
Macchine termiche e frigorifere: di cosa si tratta?
Una macchina termica trasforma calore in lavoro. Un motore d’auto, una turbina a vapore in una centrale elettrica e un motore a reazione sono tutti macchine termiche.
Ogni macchina termica funziona allo stesso modo. Prende calore QH da qualcosa di caldo, ne trasforma una parte in lavoro W, e scarica il resto QC in qualcosa di freddo.
Macchine termiche e frigorifere: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Macchine termiche e frigorifere: quali sono gli errori più comuni?
COP = Q<sub>H</sub>/W dà il lavoro; il calore prelevato dall’esterno è poi Q<sub>L</sub> = QH − W.
Questo è il lavoro in ingresso. Il calore prelevato dall’esterno è Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
Per un ciclo reversibile Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> vale solo con le temperature assolute. Converti prima in kelvin, poi di nuovo in °C.
Macchine termiche e frigorifere: che cosa si esercita?
Facile: primo principio di un ciclo
Media: limite di Carnot
Difficile: frigoriferi e pompe di calore
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Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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