Moto del proiettile: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è il moto del proiettile

Un proiettile (grave) è un oggetto che vola nell’aria con la sola gravità che agisce su di esso. Una palla calciata, un sasso lanciato da un ponte e l’acqua di un tubo sono tutti proiettili.

In questo argomento si trascura la resistenza dell’aria. Allora la traiettoria è sempre una curva regolare chiamata parabola.

L’idea chiave: il moto si divide in due parti separate. In orizzontale, nulla spinge o rallenta l’oggetto. In verticale, la gravità lo tira con g = 9,81 m/s².

Quindi la velocità orizzontale resta la stessa per tutto il tempo, mentre la velocità verticale cambia ogni secondo. Le due parti condividono una sola cosa: il tempo.

2Due moti, un solo orologio

Poni l’origine nel punto di lancio, con x orizzontale e y verticale (l’alto è positivo). Dopo un tempo t:

Qui h è l’altezza di lancio sopra il suolo, v_x è la velocità orizzontale e v_y è la velocità verticale iniziale.

La palla tocca il suolo quando y = 0. Risolvi l’equazione verticale per quel tempo, poi inserisci lo stesso tempo nell’equazione orizzontale.

Per un lancio orizzontale, v_y = 0. L’equazione verticale diventa h = ½ · g · t², quindi il tempo di caduta è:

Questo tempo di caduta non dipende affatto dalla velocità orizzontale.

3Lancio con un angolo

Quando la palla viene lanciata con velocità v₀ e un angolo θ sopra l’orizzontale, scomponi prima la velocità nelle sue due parti, le componenti:

Da un terreno piano, la palla sale finché la sua velocità verticale è zero, poi ricade. La salita e la discesa durano lo stesso tempo. Ne derivano tre risultati utili:

La formula della gittata per R vale solo quando la palla atterra alla stessa altezza da cui è stata lanciata.

4Il metodo passo dopo passo

1. Disegna la traiettoria. Segna l’altezza di lancio h, la velocità di lancio v₀, l’angolo θ e ciò che devi trovare.
2. Scomponi la velocità di lancio nelle componenti: v_x = v₀ · cos θ e v_y = v₀ · sin θ. Un lancio orizzontale ha v_y = 0.
3. Usa il moto verticale per trovare il tempo di volo: poni y = 0 in y = h + v_y·t − ½·g·t² e risolvi per t.
4. Usa quel tempo nel moto orizzontale: x = v_x · t.
5. Per la velocità in un istante qualsiasi, combina le componenti: v = √(v_x² + (v_y − g·t)²).

Controlla che la calcolatrice sia impostata in gradi prima di calcolare sin o cos di un angolo dato in gradi.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

6Errori comuni

• Usare la velocità totale v₀ dove spetta una componente. Il tempo di volo viene solo da v_y, la gittata solo da v_x.
• Confondere sin e cos. La componente orizzontale va con cos θ quando θ è misurato dall’orizzontale.
• Una calcolatrice in radianti mentre l’angolo è in gradi.
• Usare R = v₀² · sin 2θ / g quando la palla atterra più in basso o più in alto del punto di partenza. Allora devi risolvere invece l’equazione verticale.
• Dare al moto orizzontale un’accelerazione. In orizzontale la velocità è costante.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: un lancio orizzontale da una scogliera o da un muro. Trova il tempo di volo, la distanza di atterraggio, la velocità di lancio da una distanza di atterraggio data, o la velocità all’impatto. Alcune domande facili chiedono il tempo per arrivare al punto più alto di un lancio da terra.
• Medio: un lancio da terra con un angolo. Trova il tempo di volo, l’altezza massima o la gittata. Le varianti chiedono la velocità o l’angolo di lancio che dà una certa gittata, o l’altezza a cui la palla supera un muro.
• Difficile: un lancio con un angolo dalla cima di una scogliera, o un atterraggio su un tetto. Porre y = 0 (o l’altezza del tetto) dà un’equazione di secondo grado in t: prendi la radice positiva.

Nel caso difficile, l’angolo di atterraggio sotto l’orizzontale si ricava dalle componenti finali: tan α = |v_y − g·t| / v_x.