Cinematica: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è la cinematica

La cinematica descrive come si muovono le cose: quanto velocemente, quanto lontano e per quanto tempo. Non si chiede perché si muovano. Quello è compito delle forze e delle leggi di Newton.

In questo argomento l’accelerazione è costante. Un’auto che accelera in modo uniforme, un treno che frena in modo regolare e un sasso che cade liberamente si muovono tutti così.

L’accelerazione è la variazione di velocità al secondo. Se un’auto passa da 10 m/s a 13 m/s in un secondo, la sua accelerazione è 3 m/s² (metri al secondo, al secondo).

Un’accelerazione negativa significa che l’oggetto sta rallentando nella direzione positiva. Frenare è un’accelerazione negativa.

2Le cinque grandezze

Ogni domanda di questo argomento usa alcune delle stesse cinque grandezze. Impara prima i loro simboli e le loro unità.

• v₀: la velocità iniziale, in m/s. “Da fermo” significa v₀ = 0.
• v: la velocità finale, in m/s. “Fino a fermarsi” significa v = 0.
• a: l’accelerazione, in m/s². Costante per tutto il moto.
• t: il tempo, in s.
• s: lo spostamento (distanza percorsa nella direzione positiva), in m.

Le velocità sono spesso date in km/h. Convertile in m/s prima di calcolare:

Scegli una direzione positiva, di solito quella del moto. Una grandezza che punta nell’altra direzione prende il segno meno. Per una palla lanciata verso l’alto, con l’alto positivo, la gravità dà a = −9,81 m/s².

3Le tre equazioni

Con accelerazione costante, tre equazioni collegano le cinque grandezze:

Ogni equazione lascia fuori una grandezza. La prima non ha s, la seconda non ha v e la terza non ha t. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che vuoi.

Un grafico velocità–tempo mostra perché le equazioni funzionano. Con accelerazione costante il grafico è una retta, e l’area sotto la retta è la distanza.

L’area di questa figura è la velocità media per il tempo: s = ½·(v₀ + v)·t. Questa quarta forma è comoda quando a non è data.

4Il metodo passo dopo passo

1. Fai un rapido schizzo e scegli la direzione positiva.
2. Elenca v₀, v, a, t e s. Scrivi il valore di ciascuna grandezza nota, con il suo segno, e segna l’incognita.
3. Converti i km/h in m/s e i minuti in secondi.
4. Scegli l’equazione che contiene i tuoi tre dati noti e l’incognita.
5. Riarrangia, inserisci i numeri e risolvi.
6. Controlla che la risposta abbia senso: un’auto che frena non viaggia all’indietro, e un tempo non è mai negativo.

Quando il moto ha più fasi, risolvile una dopo l’altra. La velocità finale di una fase è la velocità iniziale della successiva.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

6Errori comuni

• Calcolare con i km/h invece che con i m/s. Dividi prima per 3,6.
• Dimenticare il ½ in s = v₀·t + ½·a·t².
• Usare un’accelerazione positiva per la frenata. Se il moto è positivo, la frenata è negativa.
• Dimenticare il segno meno di g per un oggetto lanciato verso l’alto quando l’alto è positivo.
• Confondere v₀ e v: “da fermo” pone v₀ = 0, “si ferma” pone v = 0.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: accelerare o rallentare. Trova a, v o s con una sola equazione, per esempio un’auto che accelera per un dato tempo o un sasso lasciato cadere da un ponte.
• Medio: frenata e decollo. Velocità in km/h, tempo e spazio di frenata, un tempo di reazione prima di frenare, o un’auto della polizia che raggiunge un’altra.
• Difficile: lanci verticali e moto a fasi. Una palla lanciata verso l’alto da un tetto, due palle che si incontrano, un razzo, o un viaggio che accelera, procede a velocità costante e frena.

Per il moto verticale, prendi l’alto come positivo e usa a = −9,81 m/s² per tutto il volo. Nel punto più alto la velocità è 0 per un istante.