Moto circolare: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è il moto circolare

Un’auto in curva, un sasso legato a una corda e un satellite attorno alla Terra si muovono tutti su una circonferenza. Anche a velocità costante, la loro direzione cambia continuamente.

Un cambiamento di direzione è un cambiamento di velocità, quindi il corpo accelera. Questa accelerazione è diretta verso il centro della circonferenza. Si chiama accelerazione centripeta a_c.

La velocità è sempre lungo la tangente, ad angolo retto con il raggio. Se la spinta verso l’interno cessasse all’improvviso, il corpo volerebbe via in linea retta lungo la tangente, non verso l’esterno.

2Accelerazione e forza centripeta

L’accelerazione centripeta dipende dalla velocità v (m/s) e dal raggio r (m):

Una velocità doppia dà un’accelerazione quattro volte maggiore. Una curva più stretta (r minore) dà un’accelerazione maggiore.

Per la seconda legge di Newton, qualcosa deve fornire una forza verso l’interno di quell’intensità:

F_c non è una forza nuova. È la forza netta verso l’interno prodotta da forze reali: l’attrito in una curva piana, la tensione in una corda, la gravità per un satellite, o la forza normale su una strada sopraelevata.

Gli oggetti in rotazione si descrivono spesso con la velocità angolare ω in rad/s. Un giro è 2π rad, quindi 60 rpm sono 2π rad/s.

3Il metodo passo dopo passo

1. Converti le velocità in m/s, i raggi in m e gli rpm in rad/s.
2. Disegna il corpo nel punto in questione e segna la direzione del centro.
3. Disegna le forze reali: peso, forza normale, attrito, tensione.
4. Prendi “verso il centro” come positivo e somma le componenti delle forze in quella direzione.
5. Poni questa forza netta verso l’interno uguale a m·v²/r e risolvi.

In una curva piana, la sola forza verso l’interno è l’attrito. La massima velocità prima di sbandare segue da μ·m·g = m·v²/r. La massa si semplifica:

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

5Circonferenze verticali

In una circonferenza verticale il peso a volte è diretto verso il centro e a volte lontano da esso. Considera separatamente il punto più alto e quello più basso.

• Nel punto più alto, la tensione (o la forza normale) e il peso sono entrambi diretti verso il basso, verso il centro.
• Nel punto più basso, la tensione è diretta verso l’alto, verso il centro, ma il peso è diretto lontano da esso. La corda deve sostenere il peso e fornire la forza centripeta.

Nel punto più alto, la corda rimane appena tesa quando T = 0. Allora il solo peso fornisce la forza verso l’interno: m·g = m·v²/r, quindi v_min = √(g·r).

Se conosci la velocità in un punto e ti serve in un altro, usa l’energia: salire di 2r costa 2·g·r di v²/2 per kg, quindi v_top² = v_bottom² − 4·g·r.

6Errori comuni

• Disegnare la forza centripeta come una forza in più accanto all’attrito o alla tensione. È la somma delle forze reali.
• Dimenticare di elevare al quadrato la velocità in v²/r.
• Usare direttamente km/h o rpm. Converti prima in m/s o rad/s.
• Sbagliare il segno del peso in una circonferenza verticale: nel punto più alto aiuta, nel punto più basso lavora contro la corda.
• Pensare che sul corpo agisca una forza verso l’esterno. Nel sistema di riferimento del suolo non ce n’è nessuna.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: forza centripeta. Trova a_c o F_c per un’auto in curva, un sasso legato a una corda o un punto su un disco in rotazione.
• Medio: attrito in curva e casi simili: la massima velocità in una curva piana, una curva sopraelevata, un dosso, un pendolo conico o un rotor da luna park.
• Difficile: la circonferenza verticale. Tensione nel punto più alto o più basso, la velocità minima nel punto più alto, oppure un giro della morte con conservazione dell’energia.

In ogni caso, chiediti prima: quale forza reale, o quale combinazione, è diretta verso il centro?