Molle e pendoli: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è un’oscillazione

Tira una massa attaccata a una molla da un lato e lasciala andare. Torna indietro oltre il centro, va fino all’altro lato e torna ancora. Un bambino su un’altalena e la corda di una chitarra fanno lo stesso.

Questo moto che si ripete è un’oscillazione. Il punto centrale, dove la massa starebbe ferma, è la posizione di equilibrio.

• L’ampiezza A è la distanza massima dall’equilibrio, in m.
• Il periodo T è il tempo di un’oscillazione completa, andata e ritorno, in s.
• La frequenza f è il numero di oscillazioni al secondo, in hertz (Hz).

2Il moto armonico semplice

Una molla tira indietro con una forza proporzionale all’allungamento: F = −k·x. La rigidezza k è in N/m. Il segno meno significa che la forza punta sempre verso l’equilibrio.

Una forza di richiamo come questa produce un moto armonico semplice (MAS). La posizione segue una curva coseno nel tempo:

La pulsazione ω (omega), in rad/s, stabilisce quanto in fretta il moto si ripete. Un periodo è 2π rad.

L’ampiezza non cambia il periodo. Un’oscillazione più ampia copre più distanza ma si muove anche più in fretta.

3Formule della molla e del pendolo

Per una massa su una molla, una massa più pesante oscilla più lentamente e una molla più rigida più in fretta:

Per un pendolo semplice di lunghezza L, con piccole oscillazioni, la massa non conta affatto:

Se una molla è appesa in verticale, il peso la allunga fino a una nuova posizione di equilibrio: k·x = m·g. Usalo per trovare k da un allungamento misurato.

La velocità è massima all’equilibrio e nulla agli estremi. L’accelerazione è massima agli estremi, dove la forza della molla è massima:

L’energia totale resta la stessa: E = ½·k·A². In una posizione x si ripartisce come ½·k·x² + ½·m·v².

4Il metodo passo dopo passo

1. Converti tutto in unità SI: grammi in kg, centimetri in m.
2. Decidi di che sistema si tratta: una massa su una molla (usa k e m) o un pendolo (usa L e g).
3. Se sono dati il periodo o il numero di oscillazioni, trova prima T: T = tempo / numero.
4. Trova ω dal sistema: ω = √(k/m) oppure ω = 2π/T.
5. Usa la formula per ciò che è richiesto: T, f, v_max = A·ω, a_max = A·ω² oppure l’energia ½·k·A².
6. Controlla che la risposta sia ragionevole: un periodo di una frazione di secondo per una molla rigida, alcuni secondi per un pendolo lungo.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

6Errori comuni

• Usare l’ampiezza in cm invece che in m.
• Capovolgere la frazione: T = 2π·√(m/k), non √(k/m). Per un pendolo è √(L/g).
• Dimenticare il 2π, o confondere ω (rad/s) e f (Hz).
• Pensare che la massa cambi il periodo di un pendolo, o che l’ampiezza cambi un periodo qualsiasi.
• Confondere v_max = A·ω e a_max = A·ω².

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: una massa su una molla. Trova T, f oppure k, a volte da un conteggio di oscillazioni o da quanto la massa allunga una molla appesa.
• Medio: il pendolo. Trova il suo periodo, la lunghezza per un dato periodo, oppure g su un altro pianeta. Alcune domande chiedono la velocità in una posizione o a un dato istante.
• Difficile: velocità, accelerazione ed energia: v_max, a_max, l’energia cinetica in una posizione, oppure l’ampiezza dopo che un proiettile colpisce un blocco su una molla.

Un controllo rapido per qualsiasi pendolo: un pendolo di 1 m sulla Terra ha un periodo di circa 2 s.