Campi magnetici e induzione: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Campi magnetici e induzione con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: campi delle correnti e forze magnetiche, particelle cariche, Faraday e Lenz, generatori, induttanza e fasci di particelle.
Esercizio gratuitoFacile
Una bobina circolare piana di 100 spire e raggio 2 cm è percorsa da una corrente di 0,5 A. Trova la densità di flusso magnetico B al suo centro.
Difficilegeneratori, induttanza e fasci di particelle
Come risolvere gli esercizi di Campi magnetici e induzione
Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Errori comuni
Lasciare le lunghezze in cm o le aree in cm².
Usare la formula del filo per una spira o un solenoide.
Usare l’angolo rispetto al piano in Φ = BA·cos θ, che richiede invece l’angolo rispetto alla normale.
Dimenticare di invertire il verso della forza per una carica negativa.
Confondere valore di picco e valore efficace di un generatore.
Ogni corrente elettrica è circondata da un campo magnetico B, misurato in tesla (T). Il campo terrestre è circa 50 µT; una calamita da frigorifero alcuni mT.
Attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze. Punta il pollice della mano destra lungo la corrente: le dita si piegano nel verso di B (la regola della mano destra). Nei disegni ⊗ indica un campo entrante nel foglio e ⊙ uscente da esso.
filo: B = μ₀I/(2πr) centro della spira: B = μ₀NI/(2R) solenoide: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Usa sempre i metri: 5 cm sono 0,05 m. All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme e non dipende dal raggio.
Autoverifica La distanza da un filo rettilineo lungo raddoppia. Che cosa succede a B?
Raddoppia
Resta uguale
Si dimezza
Si riduce a un quarto
Risposta: Si dimezza. B = μ₀I/(2πr) diminuisce come 1/r, quindi a distanza doppia il campo è la metà. La legge in 1/r² vale per le cariche puntiformi, non per i fili.
2Forze magnetiche
Un campo esercita una forza sulle cariche in movimento. Su un filo rettilineo di lunghezza L percorso da I, e su una singola carica q che si muove con velocità v:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e il campo: un filo parallelo a B non risente di alcuna forza. La forza è perpendicolare a entrambi. Con le dita della mano destra lungo v, piegale verso B: il pollice indica F per una carica positiva. Per un elettrone, inverti il verso.
Poiché la forza è sempre perpendicolare alla velocità, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza. Ponendo |q|vB = mv²/r si ottiene r = mv/(|q|B). Il tempo di un giro, T = 2πm/(|q|B), non dipende dalla velocità.
Due fili paralleli si attraggono quando le correnti scorrono nello stesso verso e si respingono quando scorrono in versi opposti, con F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Autoverifica Un protone e un elettrone si muovono con la stessa velocità attraverso lo stesso campo. Quale descrive la circonferenza più grande?
Il protone
Le due circonferenze hanno la stessa dimensione
L’elettrone
Nessuno dei due: si muovono in linea retta
Risposta: Il protone. r = mv/(|q|B). Entrambi hanno la stessa carica in valore assoluto, ma il protone è circa 1836 volte più pesante, quindi la sua circonferenza è 1836 volte più grande. Inoltre curvano in versi opposti.
3Flusso e legge di Faraday
Il flusso magnetico attraverso una spira misura quanto campo la attraversa: Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Unità: weber (Wb = T·m²).
Quando il flusso attraverso una bobina varia, si induce una f.e.m. (legge di Faraday). La corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione (legge di Lenz):
ε = −N·ΔΦ/Δt
Il flusso può variare perché cambia B, perché cambia l’area o perché la bobina ruota. Girare una bobina in un campo inverte il flusso, quindi ΔΦ = 2BA.
Un’asta di lunghezza L che si muove con velocità v attraverso un campo spazza un’area, quindi ε = BLv. Con un resistore R la corrente è I = ε/R, e il campo respinge quella corrente con F = BIL: bisogna continuare a tirare per mantenere l’asta in movimento.
Autoverifica Il campo entrante nel foglio attraverso una spira sta aumentando. In che verso scorre la corrente indotta, vista da davanti?
Antioraria
Dipende dalla dimensione della spira
Non c’è corrente
Oraria
Risposta: Antioraria. La corrente indotta si oppone all’aumento del flusso entrante nel foglio, quindi il suo campo all’interno della spira punta fuori dal foglio. Per la regola della mano destra serve una corrente antioraria.
4Generatori e induttanza
Una bobina di N spire e area A che ruota con velocità angolare ω in un campo B produce una f.e.m. sinusoidale con valore di picco E₀ = NBAω. Il valore efficace è E₀/√2, e ω = 2π·n/60 per n in giri/min.
Una corrente variabile in una bobina modifica il flusso della bobina stessa, che induce una f.e.m. che si oppone alla variazione: è l’autoinduttanza L, in henry (H).
ε = L·ΔI/Δt solenoide lungo: L = μ₀N²A/l energia: W = ½LI²
Due bobine che condividono il flusso hanno una mutua induttanza M: una corrente variabile in una induce nell’altra ε₂ = M·di₁/dt, con M = k√(L₁L₂) e 0 ≤ k ≤ 1. I trasformatori si basano su questo principio.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Un’asta metallica lunga 40 cm scorre a 5 m/s su rotaie in un campo di 0,5 T. Le rotaie sono collegate da un resistore da 2 Ω. Trova la corrente e la forza necessaria per mantenere l’asta in movimento a velocità costante.
1
F.e.m. indotta
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Corrente
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Forza frenante
La corrente nell’asta si trova nel campo, quindi l’asta risente di F = BIL, opposta al suo moto (Lenz).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Verifica con l’energia
La potenza di trazione F·v = 0,10 · 5 = 0,5 W è uguale al calore nel resistore, I²R = 0,25 · 2 = 0,5 W. L’energia si conserva.
Risposta
I = 0,5 A e F = 0,10 N.
6Errori comuni
Lasciare le distanze in cm o le aree in cm². 1 cm² = 10⁻⁴ m².
Confondere le formule: μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una spira, μ₀nI per un solenoide.
Usare l’angolo rispetto al piano in Φ = BA·cos θ invece dell’angolo rispetto alla normale.
Usare il campo finale invece della variazione di campo nella legge di Faraday.
Dimenticare di invertire il verso della forza per una carica negativa.
Confondere valore di picco e valore efficace per un generatore.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: B di un filo, di una spira o di un solenoide, la forza su un filo o su una carica in movimento, e il flusso attraverso una spira.
Medio: raggio e periodo di una carica in un campo, la legge di Faraday per una bobina, un’asta su rotaie, fili paralleli e il verso di una forza o di una corrente indotta.
Difficile: generatori, autoinduttanza ed energia immagazzinata, mutua induttanza, spettrometri di massa e selettori di velocità.
Per i versi, disegna i simboli del campo e usa ogni volta la mano destra; per i valori, scrivi prima la formula e converti ogni grandezza in unità SI.
Un filo rettilineo lungo è percorso da 8 A. A quale distanza r dal filo la densità di flusso magnetico è 32 µT?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Calcola r(cm)
Mostra i suggerimenti
Ricava r da B = μ₀I/(2πr).
r = μ₀I/(2πB).
Converti il risultato da metri a centimetri.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Campo magnetico delle correnti: attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze (regola della mano destra) con B = μ₀I/(2πr). Al centro di una bobina circolare piana di N spire, B = μ₀NI/(2R). All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme, B = μ₀nI con n = N/L spire per metro, qualunque sia il raggio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Lavora in unità SI (metri e ampere) e somma vettorialmente i campi di più sorgenti.
Distanza dal campo
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Risposta
r = 5 cm
Esempio 2Media
Una bobina di 50 spire ha un’area di 80 cm². Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0,2 T a 1 T in 100 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Calcola ε(V)
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Legge di Faraday: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 m² e Δt = 0,1 s.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variazione di flusso per spira
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
F.e.m. media
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Risposta
ε = 3,2 V
Esempio 3Difficile
Due bobine con autoinduttanze di 50 mH e 50 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,3. La corrente nella prima bobina varia a 1000 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Calcola ε(V)
Mostra i suggerimenti
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
Converti M in henry.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Mutua induttanza
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
F.e.m. indotta
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Risposta
ε = 15 V
Domande e risposte
Campi magnetici e induzione: di cosa si tratta?
Ogni corrente elettrica è circondata da un campo magnetico B, misurato in tesla (T). Il campo terrestre è circa 50 µT; una calamita da frigorifero alcuni mT.
Attorno a un filo rettilineo lungo le linee di campo sono circonferenze. Punta il pollice della mano destra lungo la corrente: le dita si piegano nel verso di B (la regola della mano destra). Nei disegni ⊗ indica un campo entrante nel foglio e ⊙ uscente da esso.
Campi magnetici e induzione: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Campi magnetici e induzione: quali sono gli errori più comuni?
Lasciare le lunghezze in cm o le aree in cm².
Usare la formula del filo per una spira o un solenoide.
Usare l’angolo rispetto al piano in Φ = BA·cos θ, che richiede invece l’angolo rispetto alla normale.
Dimenticare di invertire il verso della forza per una carica negativa.
Confondere valore di picco e valore efficace di un generatore.
Campi magnetici e induzione: che cosa si esercita?
Facile: campi delle correnti e forze magnetiche
Media: particelle cariche, Faraday e Lenz
Difficile: generatori, induttanza e fasci di particelle
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.