Onde, suono e ottica: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Onde, suono e ottica con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: velocità delle onde, livello sonoro e rifrazione, onde stazionarie, lenti e Doppler, interferenza, reticoli, specchi e fibre.
Impara Onde, suono e ottica da zero
Prima di questo: Molle e pendoli
1Che cos’è un’onda
Un’onda trasporta energia da un luogo all’altro senza trasportare materia: il mezzo si limita a oscillare. Su una corda o sull’acqua il moto è trasversale (perpendicolare alla direzione di propagazione); il suono nell’aria è longitudinale (lungo di essa).
La lunghezza d’onda λ è la lunghezza di un ciclo completo, il periodo T il tempo di un ciclo, e la frequenza f = 1/T. In un periodo l’onda avanza di una lunghezza d’onda, quindi:
v = fλ corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Il suono nell’aria viaggia a circa 343 m/s, la luce a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La velocità dipende dal mezzo, non dalla frequenza.
Autoverifica Un suono di 686 Hz viaggia a 343 m/s. Qual è la sua lunghezza d’onda?
- 0,002 m
- 0,5 m
- 2 m
- 235 000 m
Risposta: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. Dividere al contrario darebbe 2 m, e moltiplicare darebbe un numero enorme.
2Livello sonoro ed effetto Doppler
Il nostro orecchio risponde all’intensità I (W/m²) su una scala logaritmica, quindi la sonorità si esprime in decibel:
β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²
Un’intensità dieci volte maggiore aggiunge 10 dB; due sorgenti identiche aggiungono circa 3 dB. Una sorgente piccola distribuisce la sua potenza su una sfera, I = P/(4πr²), quindi raddoppiando la distanza il livello cala di circa 6 dB.
Quando sorgente e ascoltatore si avvicinano il suono diventa più acuto; quando si allontanano diventa più grave (effetto Doppler):
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. La velocità dell’ascoltatore va al numeratore, quella della sorgente al denominatore.
3Onde stazionarie
Le onde riflesse alle due estremità di una corda interferiscono dando un’onda stazionaria. Una corda fissata a entrambe le estremità ha nodi agli estremi e contiene un numero intero di semilunghezze d’onda:
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …
Un tubo aperto a entrambe le estremità segue la stessa regola. Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta, quindi ci stanno solo le armoniche dispari: fₙ = n·v/(4L) con n = 1, 3, 5, …
Autoverifica Un tubo chiuso a un’estremità ha la fondamentale a 100 Hz. Quale di queste frequenze può produrre anche?
- 150 Hz
- 200 Hz
- 300 Hz
- 50 Hz
Risposta: 300 Hz. Un tubo chiuso ha solo armoniche dispari: 100, 300, 500 Hz, … 200 Hz richiederebbe n = 2, che un tubo chiuso non può contenere.
4Rifrazione e lenti
La luce rallenta nel vetro o nell’acqua del fattore n = c/v (l’indice di rifrazione). Su una superficie di separazione il raggio cambia direzione (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale:
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ angolo limite: sin θc = n₂/n₁
Passando da un mezzo più denso a uno meno denso oltre θc, tutta la luce viene riflessa (riflessione totale interna). Le fibre ottiche guidano la luce in questo modo.
Le lenti sottili e gli specchi curvi obbediscono a un’unica equazione, con l’ingrandimento m = −dᵢ/d₀:
1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ
Segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso. Un dᵢ positivo indica un’immagine reale, un dᵢ negativo un’immagine virtuale; m < 0 significa che l’immagine è capovolta.
5Interferenza e diffrazione
La luce proveniente da due fenditure strette a distanza d si sovrappone su uno schermo a distanza L. Dove la differenza di cammino d·sin θ è un numero intero di lunghezze d’onda le onde si sommano: frange luminose.
d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d
Un reticolo di diffrazione ha molte fenditure: N linee per mm significa d = 1/N mm. I suoi massimi sono nitidi e molto distanziati, e l’ordine massimo è il più grande intero m con m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, quindi il suo massimo centrale è largo 2λL/a.
6Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svoltoUn oggetto si trova a 30 cm davanti a una lente convergente con f = 10 cm. Trova la distanza dell’immagine e l’ingrandimento.
11/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30
Quindi dᵢ = 15 cm.
2dᵢ è positivo, quindi l’immagine è reale: si forma dal lato opposto della lente e può essere raccolta su uno schermo.
3m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5
L’immagine è capovolta e grande la metà dell’oggetto.
4Un raggio parallelo all’asse si piega passando per F dal lato opposto; un raggio che passa per il centro prosegue dritto. Si incrociano a 15 cm dietro la lente, sotto l’asse.
Risposta dᵢ = 15 cm e m = −0,5: un’immagine reale, capovolta e di dimensioni dimezzate.
Autoverifica Un oggetto è a 5 cm davanti a una lente convergente con f = 10 cm. Che tipo di immagine si forma?
- Nessuna immagine: i raggi escono paralleli
- Reale e capovolta, dal lato opposto
- Reale e diritta, dallo stesso lato
- Virtuale e diritta, dallo stesso lato dell’oggetto
Risposta: Virtuale e diritta, dallo stesso lato dell’oggetto. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, quindi dᵢ = −10 cm: una distanza dell’immagine negativa indica un’immagine virtuale, e m = +2 significa diritta e ingrandita. Così funziona una lente d’ingrandimento.
7Errori comuni e domande d’esame
- Misurare gli angoli dalla superficie invece che dalla normale.
- Usare 10·log per le ampiezze o 20·log per le intensità: le intensità usano 10·log.
- Attribuire a un tubo chiuso le armoniche pari.
- Perdere il segno meno di un’immagine virtuale o di una lente divergente.
- Dimenticare di convertire nm, mm e cm in metri nelle domande sull’interferenza.
- Facile: v = fλ, onde su corde, livelli sonori, legge di Snell e velocità della luce in un materiale.
- Medio: onde stazionarie su corde e in tubi, angolo critico, lenti sottili, effetto Doppler e legge dell’inverso del quadrato.
- Difficile: doppia fenditura, reticoli, fenditura singola, specchi, sistemi di due lenti, echi da oggetti in movimento e fibre ottiche.
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