Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di alluminio (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 70 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,2 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 25 kNtratto 1: Ø35 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 50 mm e lunghezza 0,8 m; il tratto BC ha diametro 20 mm e lunghezza 0,8 m. Un momento torcente di 100 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 100 kW a 3000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 75 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 100 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 0,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 45 kN in 0,5 mw = 6 kN/m da 0 a 3 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x₀ da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 6 mw = 16 kN/m da 0 a 4 m

x₀ = m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 13 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 31,11 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,2/6,429 × 10⁻⁶ = 31107 N = 31,11 kN

Risposta

P = 31,11 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 221 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 221 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 221 MPa

Risposta

σ_max = 221 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 7,674 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·800/(39000·613592) = 0,003343 rad

φ_BC = 100000·800/(39000·15708) = 0,1306 rad

Torsione totale

φ_C = 0,003343 + 0,1306 = 0,1339 rad = 7,674°

Risposta

φ_C = 7,674°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 27,86 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Risposta

d = 27,86 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −49,5 kN·m

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·0,5 = −22,5 kN·m

w: −6·3²/2 = −27 kN·m

M_A = −22,5 − 27 = −49,5 kN·m

Risposta

M_A = −49,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: x₀ = 2,667 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·4·2

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 21,33 = 42,67 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 42,67/16 = 2,667 m

Risposta

x₀ = 2,667 m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 39,19 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

anima: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·270 + 2600·130)/5000 = 197,2 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·20³/12 + 2400·(270 − 197,2)² = 1,28 × 10⁷ mm⁴

anima: 10·260³/12 + 2600·(130 − 197,2)² = 2,639 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,28 × 10⁷ + 2,639 × 10⁷ = 3,919 × 10⁷ mm⁴ = 39,19 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 39,19 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 8,78 kN·m

Baricentro

ȳ = (4200·167,5 + 2880·80)/7080 = 131,9 mm

bordo superiore: c = 175 − 131,9 = 43,09 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 280·15³/12 + 4200·35,59² + 18·160³/12 + 2880·51,91² = 1,93 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 100·1,93 × 10⁷/43,09 = 44,79 kN·m

bordo inferiore: M = 60·1,93 × 10⁷/131,9 = 8,78 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 8,78 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 8,78 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −16 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 130 − −30) = −32,01°

Angolo sull’elemento

θ_p = −16°

Risposta

θ_p = −16°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 22,32 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −10 + 30·0,5 + 20·0,866 = 22,32 MPa

Risposta

σ_θ = 22,32 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,541 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,541 mm

Risposta

δ_max = 1,541 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 9,352 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·4000³/(48·7,2 × 10¹²) = 2,407 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 6,944 mm

Sommale

δ_max = 2,407 + 6,944 = 9,352 mm

Risposta

δ_max = 9,352 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 29,61 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29,61 kN

Risposta

P_cr = 29,61 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 179 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Risposta

σ_cr = 179 MPa

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