Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 25 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 160 MPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 120 mm, diametro interno 60 mm, E = 100 GPa, tensione ammissibile 70 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 75 kW a 500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 2 m15 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 12 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 200 mm e spesse 14 mm, un’altezza complessiva di 440 mm e un’anima spessa 10 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 200 mmH = 440 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 60 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 90 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 300 mmintaglio: 60 × 40 mmcentro del foro: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 90 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 45° in senso orario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 90 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 9 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 45 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 45 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 713 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/200000 = 0,000713 = 713 µε

Risposta

ε = 713 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 662,5 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·8482 = 9,464 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,0008, 0,0007) = 0,0007 (ottone)

Carico massimo

P_max = 0,0007·9,464 × 10⁸ = 662483 N = 662,5 kN

Risposta

P_max = 662,5 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 4,597 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·38350) = 0,08023 rad

φ = 0,08023·180/π = 4,597°

Risposta

φ = 4,597°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 15,2 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·40/3,77 × 10⁶ = 15,2 MPa

Risposta

τ_max = 15,2 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 79,17 kN, R₂ = 60,83 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 158,3, M_C = 216,7, M_D = 245 kN·m, M_E = 213,3, M_F = 121,7, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 245 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 4,5 kN, R₂ = 114,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −7, M_C = −46, M_D = −117, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −220 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 312,4 × 10⁶ mm⁴

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 440 − 2·14 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·440³ − 190·412³)/12

I_x = 3,124 × 10⁸ mm⁴ = 312,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 312,4 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 328,1 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (45000·150 − 2400·90)/(45000 − 2400) = 153,4 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·300³/12 + 45000·−3,38² = 338 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

60·40³/12 + 2400·−63,38² = 9,961 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 328,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 328,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 75 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 55 − 35·0 − 20·(−1) = 75 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 35 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 75 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −90,8 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −35 + −25·0,5 + 50·−0,866 = −90,8 MPa

Risposta

σ_θ = −90,8 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 1,361 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 1,361 mm

Risposta

δ = 1,361 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,848 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2500³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,6369 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 2,211 mm

Sommale

δ_max = 0,6369 + 2,211 = 2,848 mm

Risposta

δ_max = 2,848 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 34,33 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Risposta

P_cr = 34,33 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 51,9 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 51,9 mm

Risposta

d = 51,9 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 192,7, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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