Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 80 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 45 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 0,5 m; il tratto BC ha diametro 30 mm e lunghezza 2,5 m. Un momento torcente di 200 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 200 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 30 kW a 500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 10 kN/m da 0 a 6 mx = 5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 55 kN in 1 mw = 2 kN/m da 0 a 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 220 mm con due ali verticali, alta 180 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 14 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 220 mmh = 180 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 200 mm ha un intaglio rettangolare largo 80 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 80 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 200 mmintaglio: 80 × 40 mmcentro del foro: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 27 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 12 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 5,093 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1019/100000 = 0,01019 = 10186 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,01019·500 mm = 5,093 mm

Risposta

δ = 5,093 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 143,2 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 143,2 MPa

Risposta

σ_max = 143,2 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 9,353 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,002015 rad

φ_BC = 200000·2500/(39000·79522) = 0,1612 rad

Torsione totale

φ_C = 0,002015 + 0,1612 = 0,1632 rad = 9,353°

Risposta

φ_C = 9,353°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 26,82 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·25/534071 = 26,82 MPa

Risposta

τ_max = 26,82 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −20 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 30 − 10·5 = −20 kN

Risposta

V_x = −20 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 50,83 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1 + 2·6·3

R_B = 91/6 = 15,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 15,17 = 51,83 kN

Taglia in x = 1 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 51,83·1 − 2·1·0,5 = 50,83 kN·m

Risposta

M_x = 50,83 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 61,13 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 220·14 = 3080 mm², y₁ = 7 mm

due ali: A₂ = 2·14·166 = 4648 mm², y₂ = 14 + 166/2 = 97 mm

Baricentro

ȳ = (3080·7 + 4648·97)/7728 = 61,13 mm

Risposta

ȳ = 61,13 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 98,14 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·100 − 3200·80)/(30000 − 3200) = 102,4 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·200³/12 + 30000·−2,388² = 100,2 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

80·40³/12 + 3200·−22,39² = 2,031 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 98,14 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 98,14 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 50,99 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − 30)/2)² + 50²) = 50,99 MPa

Risposta

τ_max = 50,99 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 172,1 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 115 + 45·0,5 + 40·0,866 = 172,1 MPa

Risposta

σ_θ = 172,1 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 69,7 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 27000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 54,55 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 15,15 mm

Sommale

δ = 54,55 + 15,15 = 69,7 mm

Risposta

δ = 69,7 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 57,28 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 57,28 mm

Risposta

δ_max = 57,28 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,112 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4000² = 4112 N = 4,112 kN

Risposta

P_cr = 4,112 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 55,08 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Risposta

σ_cr = 55,08 MPa

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