Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 120 mm, diametro interno 50 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 100 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 100 kNasta: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 50 kNtratto 1: Ø35 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 40 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 500 N·m agisce in B, a 2 m da A, e un momento torcente di 200 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 0,5 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 8 mP = 75 kN in 6 mw = 10 kN/m da 0 a 8 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 70 mm e diametro interno d = 46 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 70 mmd = 46 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 120 × 24 mm, un’anima alta 400 mm e spessa 14 mm, e un’ala inferiore 250 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 120 × 24 mmanima: 14 × 400 mmala inferiore: 250 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 140 MPa e σᵧ = −20 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 160 MPa?

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 6 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,0802 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 100000·800/9,975 × 10⁸ = 0,0802 mm

Risposta

δ = 0,0802 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,573 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,97·1500/200000 = 0,3898 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·2000/100000 = 3,183 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,573 mm

Risposta

δ = 3,573 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 3,603 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·79522) = 0,06288 rad

φ = 0,06288·180/π = 3,603°

Risposta

φ = 3,603°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 23,87 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 500 = −300 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·40³) = 23,87 MPa

Risposta

τ_max = 23,87 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 5 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 12,5 − 5·1,5 = 5 kN

Risposta

V_x = 5 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 172,6 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·6 + 10·8·4

R_B = 770/8 = 96,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 96,25 = 58,75 kN

Dove è V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 58,75/10 = 5,875 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 58,75·5,875 − 10·5,875²/2 = 172,6 kN·m

Risposta

M_max = 172,6 kN·m

Si trova in x = 5,875 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 20,94 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 2187 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 958802 mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(958802/2187) = 20,94 mm

Risposta

r = 20,94 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2880 mm², y = 424 mm

anima: A = 5600 mm², y = 212 mm

ala inferiore: A = 3000 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (2880·424 + 5600·212 + 3000·6)/11480 = 211,4 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 120·24³/12 + 2880·212,6² = 1,304 × 10⁸ mm⁴

anima: 14·400³/12 + 5600·0,6481² = 7,467 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 250·12³/12 + 3000·205,4² = 1,265 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,304 × 10⁸ + 7,467 × 10⁷ + 1,265 × 10⁸

I_x = 3,316 × 10⁸ mm⁴ = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 60 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (140 + (−20))/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 60 = 100 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 80²) = 60 MPa

Risposta

τ_xy = 60 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 187,5 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 140 + 20·0,766 + −50·−0,6428 = 187,5 MPa

Risposta

σ_θ = 187,5 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 15,15 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 15,15 mm

Risposta

δ_max = 15,15 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 27 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

Risposta

R_B = 27 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 38,59 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Risposta

P_cr = 38,59 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 31,58 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Risposta

σ_cr = 31,58 MPa

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