Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 110 GPa). Entrambi sono lunghi 300 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 200 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 200 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 25 kNtratto 1: Ø35 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 400 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,7 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 80 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 5 kW a 1500 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 40 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 3 kN/m da 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 5 mw = 8 kN/m da 0 a 2 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 180 mm e spesse 18 mm, un’altezza complessiva di 440 mm e un’anima spessa 6 mm. Trova il suo modulo di resistenza elastico S_x per la flessione attorno all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 180 mmH = 440 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,1216 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4,932 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 200000·300/4,932 × 10⁸ = 0,1216 mm

Risposta

δ = 0,1216 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,8815 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 25,98·1000/100000 = 0,2598 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·500/100000 = 0,6217 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8815 mm

Risposta

δ = 0,8815 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 32,24 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·80·0,7599)) = 32,24 mm

d_i = 0,7·32,24 = 22,57 mm

Risposta

d_o = 32,24 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 29,42 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 21,95 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diametro per la resistenza

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·40)) = 15,94 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 21,95 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(15,94, 21,95) = 21,95 mm

Risposta

d = 21,95 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 24 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12·4 − 3·4·2 = 24 kN·m

Risposta

M_x = 24 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 10,24 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, applicata in x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·2·1

R_B = 16/5 = 3,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 3,2 = 12,8 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 12,8/8 = 1,6 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 12,8·1,6 − 8·1,6²/2 = 10,24 kN·m

Risposta

M_max = 10,24 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: S_x = 1462 × 10³ mm³

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 440 − 2·18 = 404 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·440³ − 174·404³)/12

I_x = 3,216 × 10⁸ mm⁴

Modulo di resistenza

c = H/2 = 220 mm

S_x = I/c = 3,216 × 10⁸/220

S_x = 1,462 × 10⁶ mm³ = 1462 × 10³ mm³

Risposta

S_x = 1462 × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 180,4 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

anima: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·227,5 + 4400·110)/8000 = 162,9 mm

Teorema del trasporto

ala: 240·15³/12 + 3600·(227,5 − 162,9)² = 1,51 × 10⁷ mm⁴

anima: 20·220³/12 + 4400·(110 − 162,9)² = 3,005 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,51 × 10⁷ + 3,005 × 10⁷ = 4,515 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 162,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·162,9/4,515 × 10⁷ = 180,4 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 180,4 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 54,08 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−30 − 60)/2)² + 30²) = 54,08 MPa

Risposta

τ_max = 54,08 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −1,962 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 10 + −80·−0,5 + −60·0,866 = −1,962 MPa

Risposta

σ_θ = −1,962 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,02406 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 2·3000³/(24·9,35 × 10¹⁰) = 0,02406 rad

Risposta

θ_A = 0,02406 rad

Cioè 1,379°.

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·70000·11,11) = 1,714 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 113,4 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113,4 kN

Risposta

P_cr = 113,4 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 38,86 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Risposta

σ_cr = 38,86 MPa

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