Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 70 kNtratto 1: Ø35 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in ottone lungo 1,5 m è sollecitato da un momento torcente di 400 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 0,5°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 400 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 750 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

35 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 30 kN in 1,5 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 50 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 70 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmcentro del foro: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 100 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 45 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 150 mmintaglio: 40 × 40 mmcentro del foro: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 20 MPa e σᵧ = 10 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 30 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 30 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 40 mm porta una forza assiale di compressione di 20 kN insieme a un momento torcente di 200 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 40 mmF = −20 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 29 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 2238 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/100000 = 0,002238 = 2238 µε

Risposta

ε = 2238 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 618,9 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 618,9 MPa

Risposta

σ_max = 618,9 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 65,1 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(39000·0,008727) = 1,763 × 10⁶ mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 65,1 mm

Risposta

d = 65,1 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 34,35 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Risposta

d = 34,35 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 53,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 36,67, M_C = 63,33, M_D = 80, M_E = 86,67 kN·m, M_F = 48,33, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 86,67 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 44,63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1,5 + 5·5·2,5

R_B = 107,5/5 = 21,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 21,5 = 33,5 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 33,5·1,5 − 5·1,5·0,75 = 44,63 kN·m

Risposta

M_x = 44,63 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (40000·100 − 1963·70)/(40000 − 1963) = 101,5 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,549² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−31,55² = 2,261 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 26,3 × 10⁶ mm⁴

Baricentro

ȳ = (15000·75 − 1600·45)/(15000 − 1600) = 78,58 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·150³/12 + 15000·−3,582² = 28,32 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·40³/12 + 1600·−33,58² = 2,018 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 26,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 26,3 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 14,14 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (20 + 10)/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 30 − 15 = 15 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(15² − 5²) = 14,14 MPa

Risposta

τ_xy = 14,14 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 9,836 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = −20000/(π·40²/4) = −20000/1257 = −15,92 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = −7,958 MPa

R = √((−7,958)² + 15,92²) = 17,79 MPa

σ₁ = C + R = 9,836 MPa

σ₂ = C − R = −25,75 MPa

Risposta

σ₁ = 9,836 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 73,98 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 73,98 mm

Risposta

δ_max = 73,98 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 14,06 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·3000³/(48·1,61 × 10¹²) = 10,13 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 3,931 mm

Sommale

δ_max = 10,13 + 3,931 = 14,06 mm

Risposta

δ_max = 14,06 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 109,9 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Risposta

P_cr = 109,9 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 145 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/15 = 116,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/116,7² = 145 MPa

Risposta

σ_cr = 145 MPa

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