Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 100 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 100 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di rame (diametro 60 mm, lunghezza 200 mm, E = 120 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 40 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 15 mm viene torto da un momento torcente di 30 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 300 mm ruotano di 1,3° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 30 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 1,3°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 100 kW a 300 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,75 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 40 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 100 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 7,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 12 kN/m da 0 a 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 6 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 190 mm e spesse 12 mm, un’altezza complessiva di 380 mm e un’anima spessa 10 mm. Porta un momento flettente di 80 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 190 mmH = 380 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 140 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 50° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 140 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 100 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 100 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,1093 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7,32 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 100000·800/7,32 × 10⁸ = 0,1093 mm

Risposta

δ = 0,1093 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 12,95 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 40000·1,696 × 10⁶/1,854 × 10⁶ = 36610 N

Tensione

σ₂ = 36610/2827 = 12,95 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 12,95 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 79,81 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,3·π/180 = 0,02269 rad

Modulo di taglio

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(4970·0,02269) = 79810 MPa

G = 79,81 GPa

Risposta

G = 79,81 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 84,01 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 3183 N·m = 3,183 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·40·0,6836)) = 84,01 mm

d_i = 0,75·84,01 = 63,01 mm

Risposta

d_o = 84,01 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 74 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 112,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Taglia in x = 7,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 60·7,5 − 12·7,5·3,75 = 112,5 kN·m

Risposta

M_x = 112,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 8 kN, R₂ = 62 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 8, M_C = 16, M_D = 24, M_E = 32 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 32 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 19,05 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

anima: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·185 + 2880·90)/5080 = 131,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·10³/12 + 2200·(185 − 131,1)² = 6,4 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·180³/12 + 2880·(90 − 131,1)² = 1,265 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,4 × 10⁶ + 1,265 × 10⁷ = 1,905 × 10⁷ mm⁴ = 19,05 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 19,05 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 74,15 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 380 − 2·12 = 356 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·380³ − 180·356³)/12

I_x = 1,92 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 190 − 12 = 178 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·178/1,92 × 10⁸ = 74,15 MPa

Risposta

σ_j = 74,15 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −61 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −50/94,34 = −0,53, sin 2θ_s = −80/94,34 = −0,848

2θ_s = atan2(−80, −50) = −122°

Angolo sull’elemento

θ_s = −61°

verifica: θ_s − θ_p = −61 − (−16) = −45°

Risposta

θ_s = −61°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 62,03 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 40 + 100·−0,1736 + 40·0,9848 = 62,03 MPa

Risposta

σ_θ = 62,03 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 2,713 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 2,713 mm

Risposta

δ = 2,713 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 239,9 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,151 × 10⁸ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·1,151 × 10⁸/100)^1/3 = 239,9 mm

Risposta

h_req = 239,9 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 65,8 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1250² = 65797 N = 65,8 kN

Risposta

P_cr = 65,8 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 27,76 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Risposta

σ_cr = 27,76 MPa

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