Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 70 GPa). Entrambi sono lunghi 500 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 80 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 80 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 25 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 250 MPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 100 mm, diametro interno 50 mm, E = 70 GPa, tensione ammissibile 60 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 75 kW a 300 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,6 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 75 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 5 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 50 kN in 3 mw = 5 kN/m da 0 a 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 40 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 30 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso orario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,07523 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5,317 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 80000·500/5,317 × 10⁸ = 0,07523 mm

Risposta

δ = 0,07523 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 437,6 kN

Aree

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5890 = 5,105 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,00125, 0,0008571) = 0,0008571 (alluminio)

Carico massimo

P_max = 0,0008571·5,105 × 10⁸ = 437579 N = 437,6 kN

Risposta

P_max = 437,6 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 22,8 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·15708) = 0,3979 rad

φ = 0,3979·180/π = 22,8°

Risposta

φ = 22,8°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 65,37 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·50·0,8704)) = 65,37 mm

d_i = 0,6·65,37 = 39,22 mm

Risposta

d_o = 65,37 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 62,42 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 36,17 kN, R₂ = 36,83 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 30,17, M_C = 48,33, M_D = 54,5 kN·m, M_E = 48,67, M_F = 36,83, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 54,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 45 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·3 + 5·4·2

R_B = 190/4 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 47,5 = 22,5 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 22,5·3 − 5·3·1,5 = 45 kN·m

Risposta

M_x = 45 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 31,06 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

anima: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·225 + 3960·110)/5560 = 143,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 160·10³/12 + 1600·(225 − 143,1)² = 1,075 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·220³/12 + 3960·(110 − 143,1)² = 2,031 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,075 × 10⁷ + 2,031 × 10⁷ = 3,106 × 10⁷ mm⁴ = 31,06 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 31,06 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 80,27 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

anima: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·247,5 + 2880·120)/5580 = 181,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·15³/12 + 2700·(247,5 − 181,7)² = 1,174 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·240³/12 + 2880·(120 − 181,7)² = 2,479 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,174 × 10⁷ + 2,479 × 10⁷ = 3,653 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 255 − 181,7 = 73,31 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·73,31/3,653 × 10⁷ = 80,27 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 80,27 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 59,27 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 85 MPa, R = √(15² + 30²) = 33,54 MPa

σ₁ = 118,5 MPa, σ₂ = 51,46 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(67,08, 118,5, 51,46)/2 = 59,27 MPa

Risposta

τ_abs = 59,27 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −64,64 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−40·−0,866 + −60·0,5 = −64,64 MPa

Risposta

τ_θ = −64,64 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,996 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 2,996 mm

Risposta

δ_max = 2,996 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,085 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 10,85 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 34,33 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Risposta

P_cr = 34,33 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 27,76 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Risposta

σ_cr = 27,76 MPa

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