Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di ottone (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 100 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,4 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di alluminio (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 70 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 30 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in alluminio lungo 2,5 m è sollecitato da un momento torcente di 1000 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 1°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 1000 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 50 kW a 1500 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,7 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 20 kN in 2,5 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 100 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 180 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 300 mmintaglio: 50 × 20 mmcentro del foro: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 18 kNw = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 75 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 75 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 42,84 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,4/9,337 × 10⁻⁶ = 42840 N = 42,84 kN

Risposta

P = 42,84 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 29,82 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 30000·247400/352120 = 21078 N

Tensione

σ₂ = 21078/706,9 = 29,82 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 29,82 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 86,55 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2500/(26000·0,01745) = 5,509 × 10⁶ mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 86,55 mm

Risposta

d = 86,55 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 34,94 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·50·0,7599)) = 34,94 mm

d_i = 0,7·34,94 = 24,46 mm

Risposta

d_o = 34,94 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 31,89 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 87,5 kN, R₂ = 87,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 175, M_C = 320, M_D = 405 kN·m, M_E = 320, M_F = 175, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 405 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 10,63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2,5 + 5·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 22,5·0,5 − 5·0,5·0,25 = 10,63 kN·m

Risposta

M_x = 10,63 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 9,49 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

anima: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·155 + 1120·70)/8920 = 144,3 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·30³/12 + 7800·(155 − 144,3)² = 1,473 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·140³/12 + 1120·(70 − 144,3)² = 8,017 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,473 × 10⁶ + 8,017 × 10⁶ = 9,49 × 10⁶ mm⁴ = 9,49 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 9,49 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 224 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·150 − 1000·180)/(30000 − 1000) = 149 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·300³/12 + 30000·1,034² = 225 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

50·20³/12 + 1000·31,03² = 0,9965 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 224 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 224 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 61,85 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((100 − 70)/2)² + −60²) = 61,85 MPa

Risposta

τ_max = 61,85 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −22,32 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −10 + 10·0,5 + 20·−0,866 = −22,32 MPa

Risposta

σ_θ = −22,32 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 7,861 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 7,861 mm

Risposta

δ_max = 7,861 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 52,54 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, w = 20 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·5000³/(48·3,99 × 10¹²) = 11,75 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 40,79 mm

Sommale

δ_max = 11,75 + 40,79 = 52,54 mm

Risposta

δ_max = 52,54 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 19,9 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2500² = 19897 N = 19,9 kN

Risposta

P_cr = 19,9 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 111,5 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 111,5 mm

Risposta

d = 111,5 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 358,6, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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