Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 120 mm, diametro interno 60 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 250 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 250 kNasta: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 15 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 15 mm viene torto da un momento torcente di 40 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 400 mm ruotano di 4,73° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 40 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 4,73°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 1000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 40 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 8 kN/m da 0 a 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 7 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 40 kN in 7 mw = 4 kN/m da 0 a 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 280 mm con due ali verticali, alta 110 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 18 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 280 mmh = 110 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −10 MPa e σᵧ = 20 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 35 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 35 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 0,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 22 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 16 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,1851 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Accorciamento

δ = 250000·800/1,081 × 10⁹ = 0,1851 mm

Risposta

δ = 0,1851 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 47,75 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 47,75 MPa

Risposta

σ_max = 47,75 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 39 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,73·π/180 = 0,08255 rad

Modulo di taglio

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(4970·0,08255) = 38996 MPa

G = 39 GPa

Risposta

G = 39 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 39,32 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

Risposta

d = 39,32 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 7 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 16·0,5 − 8·0,5·0,25 = 7 kN·m

Risposta

M_x = 7 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 49 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·7 + 4·8·4

R_B = 408/8 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 51 = 21 kN

Taglia in x = 7 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 21·7 − 4·7·3,5 = 49 kN·m

Risposta

M_x = 49 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 8,518 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 280·18 = 5040 mm², y₁ = 9 mm

due ali: A₂ = 2·18·92 = 3312 mm², y₂ = 18 + 92/2 = 64 mm

Baricentro

ȳ = (5040·9 + 3312·64)/8352 = 30,81 mm

Teorema del trasporto

base: 280·18³/12 + 5040·(9 − 30,81)² = 2,534 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·18·92³/12 + 3312·(64 − 30,81)² = 5,984 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,534 × 10⁶ + 5,984 × 10⁶

I_x = 8,518 × 10⁶ mm⁴ = 8,518 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 8,518 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 258,2 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

anima: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·112,5 + 2000·50)/5500 = 89,77 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·25³/12 + 3500·(112,5 − 89,77)² = 1,99 × 10⁶ mm⁴

anima: 20·100³/12 + 2000·(50 − 89,77)² = 4,83 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,99 × 10⁶ + 4,83 × 10⁶ = 6,821 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 125 − 89,77 = 35,23 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·35,23/6,821 × 10⁶ = 258,2 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 258,2 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 25,98 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (−10 + 20)/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 35 − 5 = 30 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 15²) = 25,98 MPa

Risposta

τ_xy = 25,98 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −50,8 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −15 + 15·0,5 + −50·0,866 = −50,8 MPa

Risposta

σ_θ = −50,8 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 1,432 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 22000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,08185 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0002455 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,432 mm

Risposta

δ_B = 1,432 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 23,36 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 23,36 mm

Risposta

δ_max = 23,36 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 63,97 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Risposta

P_cr = 63,97 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 30,71 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Risposta

σ_cr = 30,71 MPa

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