Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 100 mm, diametro interno 60 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 500 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 50 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 50 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 45 kNtratto 1: Ø35 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 20 kW a 300 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 5 kN/m da 0 a 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 6 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 35 kN in 6 mw = 8 kN/m da 0 a 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 160 mm con due ali verticali, alta 190 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 20 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 160 mmh = 190 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 200 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 168 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 240 mmintaglio: 40 × 40 mmcentro del foro: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −80 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 4 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 15 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 2,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 2 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 70 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 70 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,03358 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5027 = 7,446 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 50000·500/7,446 × 10⁸ = 0,03358 mm

Risposta

δ = 0,03358 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 223,8 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 46,77 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 223,8 MPa

Risposta

σ_max = 223,8 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 3,325 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·79522) = 0,05804 rad

φ = 0,05804·180/π = 3,325°

Risposta

φ = 3,325°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 34,35 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Risposta

d = 34,35 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 37,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 20·5 − 5·5·2,5 = 37,5 kN·m

Risposta

M_x = 37,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 180 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 8·10·5

R_B = 610/10 = 61 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 61 = 54 kN

Taglia in x = 6 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 54·6 − 8·6·3 = 180 kN·m

Risposta

M_x = 180 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 36,12 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

due ali: A₂ = 2·20·170 = 6800 mm², y₂ = 20 + 170/2 = 105 mm

Baricentro

ȳ = (3200·10 + 6800·105)/10000 = 74,6 mm

Teorema del trasporto

base: 160·20³/12 + 3200·(10 − 74,6)² = 1,346 × 10⁷ mm⁴

due ali: 2·20·170³/12 + 6800·(105 − 74,6)² = 2,266 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,346 × 10⁷ + 2,266 × 10⁷

I_x = 3,612 × 10⁷ mm⁴ = 36,12 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 36,12 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 226,4 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (48000·120 − 1600·168)/(48000 − 1600) = 118,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·240³/12 + 48000·1,655² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·40³/12 + 1600·49,66² = 4,158 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 226,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 226,4 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 72,8 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−80 − 60)/2)² + 20²) = 72,8 MPa

Risposta

τ_max = 72,8 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 80 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 50 + −50·0 + −30·−1 = 80 MPa

Risposta

σ_θ = 80 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 44,44 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, a = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 15000·4000³/(3·7,2 × 10¹²) = 44,44 mm

Risposta

δ_P = 44,44 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 14,58 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 14,58 mm

Risposta

δ_max = 14,58 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 32,64 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32,64 kN

Risposta

P_cr = 32,64 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 46,99 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 46,99 mm

Risposta

d = 46,99 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 127,7, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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