Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di rame, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 90 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 1000 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,8 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 75 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 75 kW a 1000 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 75 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 55 kN·m in x = 1,5 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mM₀ = 55 kN·m orario, in 1,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mP = 10 kN in 5 mw = 8 kN/m da 0 a 6 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 150 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 45 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 60 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 150 mmintaglio: 30 × 50 mmcentro del foro: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 1 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 6 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 18 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 145 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 145 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 11971 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1401/117000 = 0,01197 = 11971 µε

Risposta

ε = 11971 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 14,66 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1500/70000 = 2,728 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·1500/100000 = 11,94 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 14,66 mm

Risposta

δ = 14,66 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 48,63 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0,5904)) = 48,63 mm

d_i = 0,8·48,63 = 38,91 mm

Risposta

d_o = 48,63 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 40,8 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 57,22 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Diametro per la resistenza

T = 716,2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·75)) = 36,5 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 57,22 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(36,5, 57,22) = 57,22 mm

Risposta

d = 57,22 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 34,38 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/4 = 13,75 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −13,75 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a destra della coppia

Ora la parte sinistra contiene R_A e la coppia.

M_x = R_A·a + M₀ = −13,75·1,5 + 55 = 34,38 kN·m

Risposta

M_x = 34,38 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 41,17 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·5 + 8·6·3

R_B = 194/6 = 32,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 32,33 = 25,67 kN

Dove è V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 25,67/8 = 3,208 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 25,67·3,208 − 8·3,208²/2 = 41,17 kN·m

Risposta

M_max = 41,17 kN·m

Si trova in x = 3,208 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (22500·75 − 1257·45)/(22500 − 1257) = 76,77 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,775² = 42,26 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,77² = 1,394 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Baricentro

ȳ = (22500·75 − 1500·60)/(22500 − 1500) = 76,07 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,071² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

30·50³/12 + 1500·−16,07² = 0,6999 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 53,15 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − −20)/2)² + −40²) = 53,15 MPa

Risposta

τ_max = 53,15 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 104,7 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 10 + 90·0,766 + −40·−0,6428 = 104,7 MPa

Risposta

σ_θ = 104,7 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 4,87 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1000²·3000²/(3·9,24 × 10¹¹·4000) = 4,87 mm

Risposta

δ_P = 4,87 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 9,492 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·3000³/(48·2,4 × 10¹²) = 4,219 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 5,273 mm

Sommale

δ_max = 4,219 + 5,273 = 9,492 mm

Risposta

δ_max = 9,492 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 15,54 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2000² = 15545 N = 15,54 kN

Risposta

P_cr = 15,54 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 87,96 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,96 mm

Risposta

d = 87,96 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 181,9, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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