Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di alluminio sotto il carico assiale.

P = 15 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 35 kNtratto 1: Ø35 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1,5 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 0,8 m; il tratto BC ha diametro 20 mm e lunghezza 1 m. Un momento torcente di 100 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 60 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 200 N·m agisce in B, a 1,5 m da A, e un momento torcente di 400 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 3 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 400 N·mAB = 1,5 mBC = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 45 kN in 1 mw = 8 kN/m da 0 a 4 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2,5 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente positivo massimo M_max tra gli appoggi.

L = 10,5 mw = 6 kN/m da 0 a 10,5 mappoggi in x = 0 e x = 8 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 80 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 80 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 70 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 40° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 5 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 140 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,046 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/70000 = 0,0006821 = 682,1 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0006821·3000 mm = 2,046 mm

Risposta

δ = 2,046 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 4,331 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 36,38·2000/200000 = 0,3638 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·1500/117000 = 3,968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,331 mm

Risposta

δ = 4,331 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 4,604 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·800/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,000786 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·15708) = 0,07958 rad

Torsione totale

φ_C = 0,000786 + 0,07958 = 0,08036 rad = 4,604°

Risposta

φ_C = 4,604°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 3,637 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 200 = 600 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 600000·1500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02721 rad

φ_BC = 400000·3000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03627 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,02721 + 0,03627 = 0,06348 rad → |φ_C| = 3,637°

Risposta

φ_C = 3,637°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −109 kN·m

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −8·4²/2 = −64 kN·m

M_A = −45 − 64 = −109 kN·m

Risposta

M_A = −109 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 39,08 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·10,5 = 63 kN, applicata in x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·10,5·5,25

R_B = 330,8/8 = 41,34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 41,34 = 21,66 kN

Taglio nullo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 21,66/6 = 3,609 m

Momento positivo massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 21,66²/(2·6) = 39,08 kN·m

Risposta

M_max = 39,08 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (40000·100 − 1257·80)/(40000 − 1257) = 100,6 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,6487² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−20,65² = 0,6615 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 9,726 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

anima: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·292,5 + 5040·140)/10040 = 215,9 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·25³/12 + 5000·(292,5 − 215,9)² = 2,956 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·280³/12 + 5040·(140 − 215,9)² = 6,2 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,956 × 10⁷ + 6,2 × 10⁷ = 9,156 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 305 − 215,9 = 89,05 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·89,05/9,156 × 10⁷ = 9,726 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 9,726 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 80,62 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((80 − −80)/2)² + −10²) = 80,62 MPa

Risposta

τ_max = 80,62 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −60,25 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −70·0,9848 + 50·0,1736 = −60,25 MPa

Risposta

τ_θ = −60,25 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,005051 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,005051 rad

Risposta

θ_A = 0,005051 rad

Cioè 0,2894°.

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 11,25 kN

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). Per una trave iperstatica, rimuovi un vincolo sovrabbondante e imponi che lì la freccia sia nulla (congruenza).

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11,25 kN

Risposta

R_B = 11,25 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 35,81 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/4200² = 35808 N = 35,81 kN

Risposta

P_cr = 35,81 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 75,51 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 75,51 mm

Risposta

d = 75,51 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 158,9, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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