Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di alluminio sotto il carico assiale.

P = 35 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di rame (diametro 60 mm, lunghezza 400 mm, E = 120 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 50 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 100 kW a 1000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 50 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 100 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 2 m60 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 0 m35 kN @ 12 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 190 × 18 mm, un’anima alta 360 mm e spessa 8 mm, e un’ala inferiore 150 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 190 × 18 mmanima: 8 × 360 mmala inferiore: 150 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −60 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 250 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 25 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,487 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/70000 = 0,002487 = 2487 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,002487·1000 mm = 2,487 mm

Risposta

δ = 2,487 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 12,48 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 50000·848230/1,202 × 10⁶ = 35294 N

Tensione

σ₂ = 35294/2827 = 12,48 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 12,48 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,459 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·613592) = 0,02546 rad

φ = 0,02546·180/π = 1,459°

Risposta

φ = 1,459°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 45,99 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Risposta

d = 45,99 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 70 kN, R₂ = 20 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 80 kN·m, M_D = 60, M_E = 40, M_F = 20, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 80 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 53,33 kN, R₂ = 66,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −13,33, M_D = −76,67, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −140 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 25,35 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

anima: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·192,5 + 3600·90)/6100 = 132 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·25³/12 + 2500·(192,5 − 132)² = 9,278 × 10⁶ mm⁴

anima: 20·180³/12 + 3600·(90 − 132)² = 1,607 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,278 × 10⁶ + 1,607 × 10⁷ = 2,535 × 10⁷ mm⁴ = 25,35 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 25,35 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 203,7 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 3420 mm², y = 381 mm

anima: A = 2880 mm², y = 192 mm

ala inferiore: A = 1800 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (3420·381 + 2880·192 + 1800·6)/8100 = 230,5 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 190·18³/12 + 3420·150,5² = 7,759 × 10⁷ mm⁴

anima: 8·360³/12 + 2880·38,47² = 3,537 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 150·12³/12 + 1800·224,5² = 9,072 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,759 × 10⁷ + 3,537 × 10⁷ + 9,072 × 10⁷

I_x = 2,037 × 10⁸ mm⁴ = 203,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 203,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 68,01 MPa

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−60 − 50)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Risposta

τ_max = 68,01 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 2,201

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 30 MPa, R = 63,25 MPa

σ₁ = 93,25 MPa, σ₂ = −33,25 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(93,25² − 93,25·(−33,25) + (−33,25)²) = 113,6 MPa

n = 250/113,6 = 2,201

Risposta

n = 2,201

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 11,51 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·2000³/(3·8,4 × 10¹²) = 7,937 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 3,571 mm

Sommale

δ = 7,937 + 3,571 = 11,51 mm

Risposta

δ = 11,51 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13,89) = 5,022 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 441 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Risposta

P_cr = 441 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 15,67 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Risposta

σ_cr = 15,67 MPa

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