Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di rame sotto il carico assiale.

P = 90 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 45 kNtratto 1: Ø25 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in ottone (diametro esterno 80 mm, diametro interno 56 mm, lunghezza 2,5 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 250 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 250 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 300 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 75 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 2 mP = 75 kN in 1,5 mw = 8 kN/m da 0 a 2 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 4 mw = 12 kN/m da 1 a 4 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 170 mm e spesse 20 mm, un’altezza complessiva di 380 mm e un’anima spessa 12 mm. Trova il suo modulo di resistenza elastico S_x per la flessione attorno all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 170 mmH = 380 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 240 mm e spesse 24 mm, un’altezza complessiva di 380 mm e un’anima spessa 8 mm. Porta un momento flettente di 100 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 240 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 10 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 20 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 17 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/117000 = 0,006801 = 6801 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,006801·2500 mm = 17 mm

Risposta

δ = 17 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 223,8 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 223,8 MPa

Risposta

σ_max = 223,8 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,3005 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Angolo di torsione

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(39000·3,056 × 10⁶) = 0,005244 rad

φ = 0,005244·180/π = 0,3005°

Risposta

φ = 0,3005°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 27,86 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Risposta

d = 27,86 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −128,5 kN·m

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −75·1,5 = −112,5 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_A = −112,5 − 16 = −128,5 kN·m

Risposta

M_A = −128,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 21,09 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·3·2,5

R_B = 90/4 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 22,5 = 13,5 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 13,5/12 = 2,125 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 13,5·2,125 − 12·1,125²/2 = 21,09 kN·m

Risposta

M_max = 21,09 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: S_x = 1368 × 10³ mm³

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 380 − 2·20 = 340 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·380³ − 158·340³)/12

I_x = 2,599 × 10⁸ mm⁴

Modulo di resistenza

c = H/2 = 190 mm

S_x = I/c = 2,599 × 10⁸/190

S_x = 1,368 × 10⁶ mm³ = 1368 × 10³ mm³

Risposta

S_x = 1368 × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 42,57 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·380³ − 232·332³)/12

I_x = 3,899 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 190 − 24 = 166 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·166/3,899 × 10⁸ = 42,57 MPa

Risposta

σ_j = 42,57 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 31,62 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 10)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Risposta

τ_max = 31,62 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 122,5 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 115 + 35·0,766 + −30·0,6428 = 122,5 MPa

Risposta

σ_θ = 122,5 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 44,47 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 10000·1500³/(3·2,53 × 10¹¹) = 44,47 mm

Risposta

δ_P = 44,47 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,257 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,257 mm

Risposta

δ_max = 1,257 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 374,3 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1500² = 374314 N = 374,3 kN

Risposta

P_cr = 374,3 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 22,56 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Risposta

σ_cr = 22,56 MPa

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