Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 115 kNtratto 1: Ø35 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 30 kW a 300 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P₁ tra gli appoggi e un carico concentrato P₂ in C. Trova il momento flettente M_B all’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP₁ = 25 kN in 1 mP₂ = 10 kN in 6 mappoggi in x = 0 e x = 4 m

M_B = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 60 kN in 2 mw = 5 kN/m da 0 a 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 80 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 180 × 16 mm, un’anima alta 350 mm e spessa 8 mm, e un’ala inferiore 290 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 180 × 16 mmanima: 8 × 350 mmala inferiore: 290 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 1500 mm e spessore di parete di 15 mm contiene gas a una pressione relativa di 1,2 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 55° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1,2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 50 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 50 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 60 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 60 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 746 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/200000 = 0,000746 = 746 µε

Risposta

ε = 746 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 572 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 572 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 572 MPa

Risposta

σ_max = 572 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 2,192 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·251327) = 0,03826 rad

φ = 0,03826·180/π = 2,192°

Risposta

φ = 2,192°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 13,24 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,704 × 10⁶ = 13,24 MPa

Risposta

τ_max = 13,24 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_B = −20 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 10·6

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 21,25 = 13,75 kN

Taglia in B e tieni lo sbalzo

Sullo sbalzo agisce solo P₂, con braccio a. Inflette la trave verso l’alto sopra l’appoggio (momento negativo).

M_B = −P₂·a = −10·2 = −20 kN·m

Risposta

M_B = −20 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 120 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2 + 5·8·4

R_B = 280/8 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 35 = 65 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 65·2 − 5·2·1 = 120 kN·m

Risposta

M_x = 120 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (20000·100 − 2827·80)/(20000 − 2827) = 103,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,293² = 66,88 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−23,29² = 2,17 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 238 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2880 mm², y = 370 mm

anima: A = 2800 mm², y = 187 mm

ala inferiore: A = 3480 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (2880·370 + 2800·187 + 3480·6)/9160 = 175,8 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 180·16³/12 + 2880·194,2² = 1,087 × 10⁸ mm⁴

anima: 8·350³/12 + 2800·11,23² = 2,894 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 290·12³/12 + 3480·169,8² = 1,003 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,087 × 10⁸ + 2,894 × 10⁷ + 1,003 × 10⁸

I_x = 2,38 × 10⁸ mm⁴ = 238 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 238 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 60,48 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, −10 − 50) = 121°

Angolo sull’elemento

θ_p = 60,48°

Risposta

θ_p = 60,48°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 39,87 MPa

Tensioni nella parete

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/15 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Risposta

σ_n = 39,87 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,976 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 2,976 mm

Risposta

δ_max = 2,976 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 166,3 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·10) = 1,918 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁷/50)^1/3 = 166,3 mm

Risposta

h_req = 166,3 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 167,1 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1050² = 167104 N = 167,1 kN

Risposta

P_cr = 167,1 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 79,43 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 79,43 mm

Risposta

d = 79,43 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 151,1, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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