Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 85 kNtratto 1: Ø30 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in acciaio (diametro esterno 50 mm, diametro interno 25 mm, lunghezza 1 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 1500 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 30 kW a 1500 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,6 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 75 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 2 m50 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 0 m30 kN @ 6 m35 kN @ 2 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 300 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 180 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 50° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 50 mm porta un momento flettente di 750 N·m insieme a un momento torcente di 2000 N·m. Sulla superficie superiore, dove la tensione di flessione è di trazione e massima, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 7816 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 547,1/70000 = 0,007816 = 7816 µε

Risposta

ε = 7816 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 751,6 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 751,6 MPa

Risposta

σ_max = 751,6 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,868 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Angolo di torsione

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1000/(80000·575243) = 0,03259 rad

φ = 0,03259·180/π = 1,868°

Risposta

φ = 1,868°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 24,61 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·75·0,8704)) = 24,61 mm

d_i = 0,6·24,61 = 14,76 mm

Risposta

d_o = 24,61 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 23,49 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 58,33 kN, R₂ = 16,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 58,33, M_C = 66,67 kN·m, M_D = 50, M_E = 33,33, M_F = 16,67, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 66,67 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 38,33 kN, R₂ = 71,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = 3,333, M_D = −23,33, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −60 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (60000·150 − 2827·180)/(60000 − 2827) = 148,5 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·300³/12 + 60000·1,484² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·31,48² = 3,439 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 446,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 55,2 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

anima: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·132,5 + 1920·60)/8920 = 116,9 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·25³/12 + 7000·(132,5 − 116,9)² = 2,069 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·120³/12 + 1920·(60 − 116,9)² = 8,519 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,069 × 10⁶ + 8,519 × 10⁶ = 1,059 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 116,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·116,9/1,059 × 10⁷ = 55,2 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 55,2 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 64,25 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 35 − 55·(−0,1736) − (−20)·0,9848 = 64,25 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 5,753 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 64,25 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 117,6 MPa

Tensioni in superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 81,49²) = 87,03 MPa

σ₁ = C + R = 117,6 MPa

σ₂ = C − R = −56,47 MPa

Risposta

σ₁ = 117,6 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 51,14 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 51,14 mm

Risposta

δ_max = 51,14 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 12 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·4000⁴/(384·200000·11,11) = 1,2 × 10⁷ mm⁴

I_req = 12 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 12 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 5,888 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·6000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Risposta

P_cr = 5,888 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 12,34 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Risposta

σ_cr = 12,34 MPa

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