Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 90 kNtratto 1: Ø25 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 12 mm viene torto da un momento torcente di 30 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 300 mm ruotano di 9,74° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 30 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 9,74°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 50 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 1000 N·m è applicato in C, a 3 m da A e a 2,5 m da B. Trova il momento torcente di reazione T_A alla parete A.

d = 50 mmT₀ = 1000 N·ma = 3 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 6 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 6 kN/m da 0 a 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 10 mP = 15 kN in 7 mw = 10 kN/m da 0 a 10 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione rettangolare cava (scatolare) ha larghezza esterna B = 100 mm, altezza esterna H = 250 mm e spessore di parete uniforme t = 8 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

B = 100 mmH = 250 mmt = 8 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 110 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 0,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 16 kNa = 0,5 mL = 2,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 5 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 2139 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/100000 = 0,002139 = 2139 µε

Risposta

ε = 2139 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 447,6 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 447,6 MPa

Risposta

σ_max = 447,6 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 26,01 GPa

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 9,74·π/180 = 0,17 rad

Modulo di taglio

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(2036·0,17) = 26006 MPa

G = 26,01 GPa

Risposta

G = 26,01 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: T_A = 454,5 N·m

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2,5/5,5 = 454,5 N·m

T_B = 1000·3/5,5 = 545,5 N·m

Risposta

T_A = 454,5 N·m

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 72 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Taglia in x = 6 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 30·6 − 6·6·3 = 72 kN·m

Risposta

M_x = 72 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 148,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·7 + 10·10·5

R_B = 605/10 = 60,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 60,5 = 54,5 kN

Dove è V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 54,5/10 = 5,45 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 54,5·5,45 − 10·5,45²/2 = 148,5 kN·m

Risposta

M_max = 148,5 kN·m

Si trova in x = 5,45 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 87,07 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

b = 84 mm, h = 234 mm

A = BH − bh = 100·250 − 84·234 = 5344 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,052 × 10⁷ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(4,052 × 10⁷/5344) = 87,07 mm

Risposta

r = 87,07 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 20,94 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

anima: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·165 + 2560·80)/4360 = 115,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·10³/12 + 1800·(165 − 115,1)² = 4,499 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·160³/12 + 2560·(80 − 115,1)² = 8,614 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,499 × 10⁶ + 8,614 × 10⁶ = 1,311 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 170 − 115,1 = 54,91 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·54,91/1,311 × 10⁷ = 20,94 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 20,94 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 18,01 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 110 − 0) = 36,03°

Angolo sull’elemento

θ_p = 18,01°

Risposta

θ_p = 18,01°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −48,24 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −15 + −35·0,766 + −10·0,6428 = −48,24 MPa

Risposta

σ_θ = −48,24 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 11,78 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,684 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,005051 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,78 mm

Risposta

δ_B = 11,78 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 11,25 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11,25 kN

Risposta

R_B = 11,25 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 137,1 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3000² = 137078 N = 137,1 kN

Risposta

P_cr = 137,1 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 15,67 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Risposta

σ_cr = 15,67 MPa

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