Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 400 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 150 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 150 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 110 kNtratto 1: Ø25 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 30 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 1500 N·m è applicato in C, a 1,5 m da A e a 1,2 m da B. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 30 mmT₀ = 1500 N·ma = 1,5 mb = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 6 kN/m da 0 a 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mP = 30 kN in 2 mw = 4 kN/m da 0 a 6 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 140 mm con due ali verticali, alta 110 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 12 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 140 mmh = 110 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 15 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 13 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1 m dall’appoggio B. Trova la freccia δ_mid in mezzeria.

P = 25 kNb = 1 mL = 8 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 90 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 90 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,1273 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 150000·400/4,712 × 10⁸ = 0,1273 mm

Risposta

δ = 0,1273 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 350,1 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 350,1 MPa

Risposta

σ_max = 350,1 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,754 °

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Risposta

φ = 1,754°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 157,2 MPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·1,2/2,7 = 666,7 N·m

T_B = 1500·1,5/2,7 = 833,3 N·m

Tensione tangenziale massima

Governa il maggiore dei due momenti torcenti (stesso diametro).

τ_max = 16·833333/(π·30³) = 157,2 MPa

Risposta

τ_max = 157,2 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 68,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 30·3,5 − 6·3,5·1,75 = 68,25 kN·m

Risposta

M_x = 68,25 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 56 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 4·6·3

R_B = 132/6 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 22 = 32 kN

Dove è V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 24 kN

V(2⁺) = 24 − 30 = −6 kN

Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 32·2 − 4·2²/2 = 56 kN·m

Risposta

M_max = 56 kN·m

Si trova in x = 2 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 4,867 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

due ali: A₂ = 2·12·98 = 2352 mm², y₂ = 12 + 98/2 = 61 mm

Baricentro

ȳ = (1680·6 + 2352·61)/4032 = 38,08 mm

Teorema del trasporto

base: 140·12³/12 + 1680·(6 − 38,08)² = 1,749 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·12·98³/12 + 2352·(61 − 38,08)² = 3,118 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,749 × 10⁶ + 3,118 × 10⁶

I_x = 4,867 × 10⁶ mm⁴ = 4,867 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 4,867 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 81,02 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

anima: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·272,5 + 2080·130)/8580 = 238 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·25³/12 + 6500·(272,5 − 238)² = 8,096 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·260³/12 + 2080·(130 − 238)² = 3,596 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,096 × 10⁶ + 3,596 × 10⁷ = 4,405 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 238 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·238/4,405 × 10⁷ = 81,02 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 81,02 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 61,03 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((100 − 30)/2)² + −50²) = 61,03 MPa

Risposta

τ_max = 61,03 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 80 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 40 + −20·0 + 40·1 = 80 MPa

Risposta

σ_θ = 80 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 45,96 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 26,26 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0197 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 45,96 mm

Risposta

δ_B = 45,96 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_mid = 74,18 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia in mezzeria

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 25000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1,32 × 10¹²) = 74,18 mm

Risposta

δ_mid = 74,18 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 15,5 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15,5 kN

Risposta

P_cr = 15,5 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 82,55 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82,55 mm

Risposta

d = 82,55 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 242,3, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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