Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 50 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 30 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 10 mm viene torto da un momento torcente di 40 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 250 mm ruotano di 14,96° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 40 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 14,96°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 75 kW a 300 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,8 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 80 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 75 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 6 m40 kN @ 3 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 90 MPa e σᵧ = −20 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 125 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 30 mm porta un momento flettente di 500 N·m insieme a un momento torcente di 500 N·m. Sulla superficie superiore, dove la tensione di flessione è di trazione e massima, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 30 mmM = 500 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 4 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 27 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 50 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 50 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 11,05 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/100000 = 0,004421 = 4421 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,004421·2500 mm = 11,05 mm

Risposta

δ = 11,05 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,546 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·1500/100000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 95,49·2000/100000 = 1,91 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,546 mm

Risposta

δ = 2,546 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 39,01 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 14,96·π/180 = 0,2611 rad

Modulo di taglio

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(981,7·0,2611) = 39011 MPa

G = 39,01 GPa

Risposta

G = 39,01 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 63,61 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·80·0,5904)) = 63,61 mm

d_i = 0,8·63,61 = 50,89 mm

Risposta

d_o = 63,61 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 53,37 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 5 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 12,5 − 5·1,5 = 5 kN

Risposta

V_x = 5 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 11 kN, R₂ = 91 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 7, M_C = 6, M_D = −3, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −60 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 16,6 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

anima: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·207,5 + 2000·100)/3500 = 146,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·15³/12 + 1500·(207,5 − 146,1)² = 5,688 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·200³/12 + 2000·(100 − 146,1)² = 1,091 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,688 × 10⁶ + 1,091 × 10⁷ = 1,66 × 10⁷ mm⁴ = 16,6 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 16,6 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 26,83 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

anima: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·205 + 3200·100)/5400 = 142,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·10³/12 + 2200·(205 − 142,8)² = 8,536 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·200³/12 + 3200·(100 − 142,8)² = 1,652 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,536 × 10⁶ + 1,652 × 10⁷ = 2,506 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 210 − 142,8 = 67,22 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·67,22/2,506 × 10⁷ = 26,83 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 26,83 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 71,24 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (90 + (−20))/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 35 = 90 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 55²) = 71,24 MPa

Risposta

τ_xy = 71,24 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 227,7 MPa

Tensioni in superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 94,31 MPa

R = √(94,31² + 94,31²) = 133,4 MPa

σ₁ = C + R = 227,7 MPa

σ₂ = C − R = −39,07 MPa

Risposta

σ₁ = 227,7 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 19,86 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·5000³/(3·3,2 × 10¹³) = 5,208 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 14,65 mm

Sommale

δ = 5,208 + 14,65 = 19,86 mm

Risposta

δ = 19,86 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,154 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·1500³/(48·1,76 × 10¹²) = 1,079 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·1500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 0,07491 mm

Sommale

δ_max = 1,079 + 0,07491 = 1,154 mm

Risposta

δ_max = 1,154 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 15,99 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15,99 kN

Risposta

P_cr = 15,99 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 72,51 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Risposta

d = 72,51 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 137,9, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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