Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di bronzo (diametro 60 mm, lunghezza 300 mm, E = 110 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,3 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 85 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 750 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,6 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 80 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 60 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 1000 N·m è applicato in C, a 0,8 m da A e a 0,5 m da B. Trova l’angolo di rotazione φ_C della sezione C, in gradi.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 0,8 mb = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 60 kN in 3,5 mw = 10 kN/m da 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 200 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 80 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 120 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 300 mmintaglio: 80 × 30 mmcentro del foro: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 35° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 9 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (acciaio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 8 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 52,27 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9,646 × 10⁻⁷ mm/N

Carico

P = 0,3/5,739 × 10⁻⁶ = 52272 N = 52,27 kN

Risposta

P = 52,27 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 5,776 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·2000/100000 = 3,463 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·1000/117000 = 2,313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,776 mm

Risposta

δ = 5,776 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 38 mm

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·80·0,8704)) = 38 mm

d_i = 0,6·38 = 22,8 mm

Risposta

d_o = 38 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 36,28 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 0,3553 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,5/1,3 = 384,6 N·m

T_B = 1000·0,8/1,3 = 615,4 N·m

Rotazione di C

Usa il tratto AC: è incastrato in A e porta T_A.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 384615·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,006201 rad = 0,3553°

Risposta

φ_C = 0,3553°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 22,5 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 25 − 5·0,5 = 22,5 kN

Risposta

V_x = 22,5 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 89,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3,5 + 10·5·2,5

R_B = 335/5 = 67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 67 = 43 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 43·3,5 − 10·3,5·1,75 = 89,25 kN·m

Risposta

M_x = 89,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 63,29 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

anima: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·305 + 3600·150)/6200 = 215 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·10³/12 + 2600·(305 − 215)² = 2,108 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·300³/12 + 3600·(150 − 215)² = 4,221 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,108 × 10⁷ + 4,221 × 10⁷ = 6,329 × 10⁷ mm⁴ = 63,29 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 63,29 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 447,6 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (60000·150 − 2400·120)/(60000 − 2400) = 151,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,25² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

80·30³/12 + 2400·−31,25² = 2,524 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 447,6 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 447,6 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 50 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−70 − −10)/2)² + 40²) = 50 MPa

Risposta

τ_max = 50 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −7,039 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −60 + −10·0,342 + 60·0,9397 = −7,039 MPa

Risposta

σ_θ = −7,039 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 2,201 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 9000·1500³/(3·4,6 × 10¹²) = 2,201 mm

Risposta

δ_P = 2,201 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,782 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·1,14 × 10¹³) = 0,3947 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 1,388 mm

Sommale

δ_max = 0,3947 + 1,388 = 1,782 mm

Risposta

δ_max = 1,782 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 5,712 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5,712 kN

Risposta

P_cr = 5,712 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 22,56 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Risposta

σ_cr = 22,56 MPa

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