Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 60 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 100 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 15 mm viene torto da un momento torcente di 40 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 200 mm ruotano di 3,55° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 40 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio trasmette 10 kW a 300 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 50 MPa e la torsione non deve superare 0,75° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 12 kN/m da 0 a 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 30 kN in 1,5 mw = 4 kN/m da 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 120 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = −10 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 130 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 30 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 40° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,653 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 530,5/200000 = 0,002653 = 2653 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,002653·1000 mm = 2,653 mm

Risposta

δ = 2,653 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 70,74 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 100000·235619/471239 = 50000 N

Tensione

σ₂ = 50000/706,9 = 70,74 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 70,74 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 25,98 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Modulo di taglio

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(4970·0,06196) = 25979 MPa

G = 25,98 GPa

Risposta

G = 25,98 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 55,56 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Diametro per la resistenza

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·50)) = 31,89 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 55,56 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(31,89, 55,56) = 55,56 mm

Risposta

d = 55,56 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 24 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 24·2 − 12·2·1 = 24 kN·m

Risposta

M_x = 24 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 46 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1,5 + 4·6·3

R_B = 117/6 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 19,5 = 34,5 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 34,5·2 − 30·(2 − 1,5) − 4·2·1 = 46 kN·m

Risposta

M_x = 46 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 11,84 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

anima: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·145 + 2520·70)/5520 = 110,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·10³/12 + 3000·(145 − 110,8)² = 3,542 × 10⁶ mm⁴

anima: 18·140³/12 + 2520·(70 − 110,8)² = 8,303 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,542 × 10⁶ + 8,303 × 10⁶ = 1,184 × 10⁷ mm⁴ = 11,84 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 11,84 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 12,88 kN·m

Baricentro

ȳ = (6000·295 + 2240·140)/8240 = 252,9 mm

bordo superiore: c = 310 − 252,9 = 57,14 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 200·30³/12 + 6000·42,14² + 8·280³/12 + 2240·112,9² = 5,427 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 120·5,427 × 10⁷/57,14 = 114 kN·m

bordo inferiore: M = 60·5,427 × 10⁷/252,9 = 12,88 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 12,88 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 12,88 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 67,07 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 120 MPa, R = √(10² + (−10)²) = 14,14 MPa

σ₁ = 134,1 MPa, σ₂ = 105,9 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(28,28, 134,1, 105,9)/2 = 67,07 MPa

Risposta

τ_abs = 67,07 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 17,95 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 75 + −45·0,1736 + −50·0,9848 = 17,95 MPa

Risposta

σ_θ = 17,95 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 33,33 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 33,33 mm

Risposta

δ_max = 33,33 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·11000·5,556) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,139 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Risposta

P_cr = 3,139 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 7,896 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Risposta

σ_cr = 7,896 MPa

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