Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrici e determinanti
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa di una 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Prodotto
(AB)ij = Σk AikBkj
Autovalori
det(A − λI) = 0
Regola di Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.Metodi numericiMedia
Approssima ∫01,5 1/(1 + x³) dx con la regola di Simpson usando n = 6 strisce. Dai S.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
2.Metodi numericiDifficile
Usa il metodo di Eulero con h = 0,5 per y′ = y − t², y(0) = 2, per stimare y5 ≈ y(2,5).
y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,5
y5 =
3.Successioni e serieMedia
La serie di potenze Σk=1∞ (x − 3)ᵏ/(k·4ᵏ) converge in un intervallo attorno a x₀ = 3. Trova l’estremo sinistro x di quell’intervallo.
Σ (x − 3)ᵏ/(k·4ᵏ)x₀ = 3
x =
4.Successioni e serieDifficile
f(x) = eˣ è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 5 in x = 1,5. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = e1,5 = 4,482 per trovare il massimo errore possibile |R₅|.
f(x) = eˣn = 5x = 1,5M = 4,482
|R₅| =
5.Matrici e determinantiMedia
Trova il determinante det A della matrice 3×3 A mostrata.
A = [−1 −4 −4; 3 2 −2; 0 −3 −5]
det A =
6.Matrici e determinantiDifficile
Trova l'autovalore maggiore λ della matrice A mostrata.
A = [2 −3; 5 −6]
λ =
7.Equazioni differenzialiMedia
Risolvi y″ + 2y′ + y = 0 con y(0) = 5 e y′(0) = 4. Trova y(1,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1.5) =
8.Equazioni differenzialiDifficile
Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Soluzioni
1.Metodi numerici
Risposta: S = 1,009
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.
2.Metodi numerici
Risposta: y5 = 9,953
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Passi di Eulero
y₁ = 2 + 0,5·(2) = 3
y₂ = 3 + 0,5·(2,75) = 4,375
y₃ = 4,375 + 0,5·(3,375) = 6,0625
y₄ = 6,0625 + 0,5·(3,8125) = 7,96875
y₅ = 7,96875 + 0,5·(3,96875) = 9,953125
Grafico
y5 = 9,953
Risposta
y5 = 9,953
Il valore esatto è y(2,5) = 13,25.
3.Successioni e serie
Risposta: x = −1
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Coefficienti
ck/ck+1 = 4·((k + 1)/k) → 4
Raggio
R = 4
Intervallo
−1 < x < 7
x = −1
Risposta
x = −1
Il criterio del rapporto non dice nulla nei due estremi; vanno verificati separatamente.
4.Successioni e serie
Risposta: |R₅| = 0,0709
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Maggiorazione della derivata
M = e1,5 = 4,482
Maggiorazione di Lagrange
|R₅| ≤ 4,482·1,5⁶/6! = 0,0709
Risposta
|R₅| = 0,0709
L’errore vero è minore: |f(1,5) − P₅(1,5)| = 0,01997.
5.Matrici e determinanti
Risposta: det A = −8
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Minori 2×2 della prima riga
M₁₁ = −16, M₁₂ = −15, M₁₃ = −9
Sviluppo di Laplace
det A = (−1)·(−16) − (−4)·(−15) + (−4)·(−9) = −8
Risposta
det A = −8
6.Matrici e determinanti
Risposta: λ = −1
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Equazione caratteristica
λ² − (−4)λ + (3) = 0
Risolvi
λ = (−4 ± √(4))/2 → λ = −3, −1
λ = −1
Risposta
λ = −1
7.Equazioni differenziali
Risposta: y(1.5) = 4,128
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.
Radice doppia
(r + 1)² = 0 → r = −1
Costanti
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 1A → B = 4 + 5 = 9
Calcola
y(1,5) = (5 + 9·1,5)·e−1,5 = 4,128
Risposta
y(1,5) = 4,128
8.Equazioni differenziali
Risposta: ymax = 2,19
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.