Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrici e determinanti
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa di una 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Prodotto
(AB)ij = Σk AikBkj
Autovalori
det(A − λI) = 0
Regola di Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.Metodi numericiMedia
La velocità di un veicolo è misurata ogni 2 s (tabella). Stima lo spazio s percorso da t = 0 a t = 10 s con la regola dei trapezi.
h = 2 sn = 5
s = m
2.Metodi numericiDifficile
Esegui un passo del metodo classico di Runge–Kutta (RK4) con h = 0,2 per y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Trova y₁ ≈ y(0,2).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =
3.Successioni e serieMedia
Applica il criterio del rapporto a Σk=1∞ 2ᵏ·k!/kᵏ. Trova L = lim |ak+1/ak|.
ak = 2ᵏ·k!/kᵏ
L =
4.Successioni e serieDifficile
Usa il polinomio di Maclaurin di grado 2 di f(x) = 1/(1 − 2x) per approssimare f(0,2). Dai P₂(0,2).
f(x) = 1/(1 − 2x)n = 2x = 0,2
P₂(0.2) =
5.Matrici e determinantiMedia
Sia C = AB per le matrici mostrate. Trova l'elemento c22 (riga 2, colonna 2).
A = [6 5; −5 −4]B = [2 4; 6 2]
c22 =
6.Matrici e determinantiDifficile
Risolvi il sistema −5x − y = 12 e −2x − y = 4. Trova x.
−5x − y = 12−2x − y = 4
x =
7.Equazioni differenzialiMedia
Risolvi y″ + 7y′ + 12y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = 6. Trova y(2).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = 6
y(2) =
8.Equazioni differenzialiDifficile
Risolvi y′ + 2y = 3e−3t con y(0) = 0. Trova y(2).
y′ + 2y = 3e−3ty(0) = 0
y(2) =
3Soluzioni
1.Metodi numerici
Risposta: s = 178 m
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Somma pesata
7 + 2·12 + 2·17 + 2·21 + 2·22 + 27 = 178
Regola dei trapezi
s = (2/2)·178 = 178 m
Risposta
s = 178 m
2.Metodi numerici
Risposta: y1 = 0,7128
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Rapporto di termini consecutivi
|ak+1/ak| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e
Conclusione
L = 0,7358 < 1
Risposta
L = 0,7358
L < 1, quindi la serie converge.
4.Successioni e serie
Risposta: P₂(0.2) = 1,56
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Polinomio di Maclaurin
P₂(x) = 1 + 2x + 4x²
Sostituisci
P₂(0,2) = 1 + 0,4 + 0,16 = 1,56
Risposta
P₂(0,2) = 1,56
Il valore esatto è f(0,2) = 1,666667; l’errore 0,106667 diminuisce se prendi più termini o un punto più vicino a 0.
5.Matrici e determinanti
Risposta: c22 = −28
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Riga per colonna
c22 = (−5)·4 + (−4)·2 = −28
Risposta
c22 = −28
6.Matrici e determinanti
Risposta: x = −2,667
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Determinante della matrice dei coefficienti
det A = (−5)·(−1) − (−1)·(−2) = 3
Sostituisci la colonna di x
det Aₓ = 12·(−1) − (−1)·4 = −8
x = −8/3 = −2,667
Risposta
x = −2,667
y = 1,333
7.Equazioni differenziali
Risposta: y(2) = 0,03959
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.
Radici caratteristiche
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
Costanti dai valori iniziali
A + B = 3, −3A − 4B = 6
A = 18, B = −15
Calcola
y(2) = 18·e−6 + (−15)·e−8 = 0,03959
Risposta
y(2) = 0,03959
8.Equazioni differenziali
Risposta: y(2) = 0,04751
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.