Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrici e determinanti
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa di una 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Prodotto
(AB)ij = Σk AikBkj
Autovalori
det(A − λI) = 0
Regola di Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.Metodi numericiMedia
Approssima ∫01 e−x² dx con la regola di Simpson usando n = 2 strisce. Dai S.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
2.Metodi numericiDifficile
Usa il metodo di Eulero con h = 0,1 per y′ = 1,5y, y(0) = 2, per stimare y5 ≈ y(0,5).
y′ = 1,5yy(0) = 2h = 0,1
y5 =
3.Successioni e serieMedia
Esattamente una delle quattro serie converge. Cliccala.
f(x) = sin x è approssimata dal suo polinomio di Maclaurin di grado 2 in x = 0,3. Usa la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 1 per trovare il massimo errore possibile |R₂|.
f(x) = sin xn = 2x = 0,3M = 1
|R₂| =
5.Matrici e determinantiMedia
Trova il determinante det A della matrice 3×3 A mostrata.
A = [2 −1 2; −3 2 −5; −4 −5 2]
det A =
6.Matrici e determinantiDifficile
Risolvi il sistema 2x − 3y = −4 e −5x + 2y = −11. Trova x.
2x − 3y = −4−5x + 2y = −11
x =
7.Equazioni differenzialiMedia
Un pezzo d’acciaio forgiato a 360 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 29 °C. Dopo 59 min la sua temperatura è 60 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 29 °CT(59) = 60 °C
k = min⁻¹
8.Equazioni differenzialiDifficile
Un serbatoio contiene 200 L di acqua in cui sono disciolti 5 kg di sale. Una salamoia con 0,1 kg di sale per litro entra a 4 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Dopo quanti minuti t il serbatoio contiene 16 kg di sale?
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3Soluzioni
1.Metodi numerici
Risposta: S = 0,7472
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Nodi e valori
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,778801 + 0,367879 = 4,483083
Regola di Simpson
S = (0,5/3)·4,483083 = 0,7472
Risposta
S = 0,7472
Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.
2.Metodi numerici
Risposta: y5 = 4,023
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Passi di Eulero
y₁ = 2 + 0,1·(3) = 2,3
y₂ = 2,3 + 0,1·(3,45) = 2,645
y₃ = 2,645 + 0,1·(3,9675) = 3,04175
y₄ = 3,04175 + 0,1·(4,562625) = 3,498012
y₅ = 3,498012 + 0,1·(5,247019) = 4,022714
Grafico
y5 = 4,023
Risposta
y5 = 4,023
Il valore esatto è y(0,5) = 4,234.
3.Successioni e serie
Risposta: D: Σ 1/(3ᵏ + k)
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Verifica ogni serie
A: Σ 2ᵏ/k² → Criterio del rapporto: L = 2 > 1, diverge.
B: Σ 1/(5k + 2) → Si comporta come 1/(5k) per k grande; confrontata con la serie armonica, diverge.
C: Σ (5/3)ᵏ → Geometrica con r = 5/3 > 1: i termini crescono, quindi diverge.
D: Σ 1/(3ᵏ + k) → Minore di (1/3)ᵏ, una serie geometrica convergente: converge per confronto.
La risposta
D: Σ 1/(3ᵏ + k)
Risposta
D: Σ 1/(3ᵏ + k)
4.Successioni e serie
Risposta: |R₂| = 0,0045
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Maggiorazione della derivata
M = 1
Maggiorazione di Lagrange
|R₂| ≤ 1·0,3³/3! = 0,0045
Risposta
|R₂| = 0,0045
L’errore vero è minore: |f(0,3) − P₂(0,3)| = 0,00448.
5.Matrici e determinanti
Risposta: det A = −22
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Minori 2×2 della prima riga
M₁₁ = −21, M₁₂ = −26, M₁₃ = 23
Sviluppo di Laplace
det A = 2·(−21) − (−1)·(−26) + 2·23 = −22
Risposta
det A = −22
6.Matrici e determinanti
Risposta: x = 3,727
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Determinante della matrice dei coefficienti
det A = 2·2 − (−3)·(−5) = −11
Sostituisci la colonna di x
det Aₓ = (−4)·2 − (−3)·(−11) = −41
x = −41/(−11) = 3,727
Risposta
x = 3,727
y = 3,818
7.Equazioni differenziali
Risposta: k = 0,04014 min⁻¹
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Rapporto delle differenze di temperatura
e−59k = 31/331
Risolvi per k
k = ln(331/31)/59 = 0,04014 min⁻¹
Risposta
k = 0,04014 min⁻¹
8.Equazioni differenziali
Risposta: t = 66,09 min
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.