Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrici e determinanti
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa di una 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Prodotto
(AB)ij = Σk AikBkj
Autovalori
det(A − λI) = 0
Regola di Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.Metodi numericiMedia
Approssima ∫01 sin(x²) dx con la regola di Simpson usando n = 2 strisce. Dai S.
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
2.Metodi numericiDifficile
Esegui un passo del metodo classico di Runge–Kutta (RK4) con h = 0,2 per y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Trova y₁ ≈ y(0,2).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =
3.Successioni e serieMedia
La serie di potenze Σk=1∞ (1/2)ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1) converge in un intervallo attorno a x₀ = −1. Trova l’estremo destro x di quell’intervallo.
Σ (1/2)ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = −1
x =
4.Successioni e serieDifficile
Trova il coefficiente c₂ di (x − 5)² nella serie di Taylor di f(x) = 1/x attorno ad a = 5.
f(x) = 1/xa = 5k = 2
c₂ =
5.Matrici e determinantiMedia
Trova il determinante det A della matrice 3×3 A mostrata.
A = [−1 4 −5; −3 1 0; 1 −3 2]
det A =
6.Matrici e determinantiDifficile
Risolvi il sistema 3x + 5y = 4 e −4x − 2y = −8. Trova x.
3x + 5y = 4−4x − 2y = −8
x =
7.Equazioni differenzialiMedia
Una tazza di caffè a 81 °C viene lasciata in una stanza a 24 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,11 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 29 min.
T0 = 81 °CTa = 24 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 29 min
T = °C
8.Equazioni differenzialiDifficile
Un serbatoio contiene 500 L di acqua pura. Una salamoia con 0,2 kg di sale per litro entra a 4 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 90 min?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3Soluzioni
1.Metodi numerici
Risposta: S = 0,3052
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Nodi e valori
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,247404 + 0,841471 = 1,831087
Regola di Simpson
S = (0,5/3)·1,831087 = 0,3052
Risposta
S = 0,3052
Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.
2.Metodi numerici
Risposta: y1 = 0,7128
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Coefficienti
ck/ck+1 = (1/(1/2))·(k + 2)/(k + 1) → 2
Raggio
R = 2
Intervallo
−3 < x < 1
x = 1
Risposta
x = 1
Il criterio del rapporto non dice nulla nei due estremi; vanno verificati separatamente.
4.Successioni e serie
Risposta: c₂ = 0,008
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Derivata f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 2/x³
Coefficiente
c₂ = 2/(5³·2) = 0,008
c₂ = 0,008
Risposta
c₂ = 0,008
5.Matrici e determinanti
Risposta: det A = −18
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Minori 2×2 della prima riga
M₁₁ = 2, M₁₂ = −6, M₁₃ = 8
Sviluppo di Laplace
det A = (−1)·2 − 4·(−6) + (−5)·8 = −18
Risposta
det A = −18
6.Matrici e determinanti
Risposta: x = 2,286
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Determinante della matrice dei coefficienti
det A = 3·(−2) − 5·(−4) = 14
Sostituisci la colonna di x
det Aₓ = 4·(−2) − 5·(−8) = 32
x = 32/14 = 2,286
Risposta
x = 2,286
y = −0,5714
7.Equazioni differenziali
Risposta: T = 26,35 °C
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Soluzione della legge di raffreddamento
T(t) = 24 + 57·e−0,11t
Sostituisci t
T(29) = 24 + 57·0,04117 = 26,35 °C
Risposta
T = 26,35 °C
8.Equazioni differenziali
Risposta: m = 51,32 kg
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Imposta l’equazione
dm/dt = 4·0,2 − (4/500)·m = 0,8 − 0,008·m
Risolvi
Il fattore integrante è ert/V; la soluzione tende all’equilibrio c·V.