Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrici e determinanti
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa di una 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Prodotto
(AB)ij = Σk AikBkj
Autovalori
det(A − λI) = 0
Regola di Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.Metodi numericiMedia
Approssima ∫02 e−x² dx con la regola di Simpson usando n = 6 strisce. Dai S.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
2.Metodi numericiDifficile
Usa il metodo di Eulero con h = 0,2 per y′ = −2ty, y(0) = −1, per stimare y5 ≈ y(1).
y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,2
y5 =
3.Successioni e serieMedia
Applica il criterio del rapporto a Σk=1∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)!. Trova L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·3ᵏ/(2k)!
L =
4.Successioni e serieDifficile
f(x) = cos x è approssimata in x = 2 dal suo polinomio di Maclaurin di grado n. Con la maggiorazione di Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! e M = 1, trova il grado minimo n che garantisce un errore inferiore a 1 × 10⁻⁵.
f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matrici e determinantiMedia
Trova il determinante det A della matrice 3×3 A mostrata.
A = [−1 0 −5; −4 4 2; 3 3 3]
det A =
6.Matrici e determinantiDifficile
Risolvi il sistema −3x + 2y = −5 e −3x − y = −5. Trova x.
−3x + 2y = −5−3x − y = −5
x =
7.Equazioni differenzialiMedia
Risolvi y″ + 8y′ + 15y = 0 con y(0) = 2 e y′(0) = 1. Trova y(0,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = 1
y(0.5) =
8.Equazioni differenzialiDifficile
Risolvi y′ + 0,5y = 4e−2t con y(0) = 4. Trova y(2).
y′ + 0,5y = 4e−2ty(0) = 4
y(2) =
3Soluzioni
1.Metodi numerici
Risposta: S = 0,882
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.
2.Metodi numerici
Risposta: y5 = −0,3994
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Passi di Eulero
y₁ = −1 + 0,2·(0) = −1
y₂ = −1 + 0,2·(0,4) = −0,92
y₃ = −0,92 + 0,2·(0,736) = −0,7728
y₄ = −0,7728 + 0,2·(0,92736) = −0,587328
y₅ = −0,587328 + 0,2·(0,939725) = −0,399383
Grafico
y5 = −0,3994
Risposta
y5 = −0,3994
Il valore esatto è y(1) = −0,367879.
3.Successioni e serie
Risposta: L = 0,75
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Rapporto di termini consecutivi
|ak+1/ak| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4
Conclusione
L = 0,75 < 1
Risposta
L = 0,75
L < 1, quindi la serie converge.
4.Successioni e serie
Risposta: n = 11
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Maggiorazioni al crescere di n
n = 10: 5,131 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 11: 8,551 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Grado minimo
n = 11
Risposta
n = 11
5.Matrici e determinanti
Risposta: det A = 114
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Minori 2×2 della prima riga
M₁₁ = 6, M₁₂ = −18, M₁₃ = −24
Sviluppo di Laplace
det A = (−1)·6 − 0·(−18) + (−5)·(−24) = 114
Risposta
det A = 114
6.Matrici e determinanti
Risposta: x = 1,667
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Determinante della matrice dei coefficienti
det A = (−3)·(−1) − 2·(−3) = 9
Sostituisci la colonna di x
det Aₓ = (−5)·(−1) − 2·(−5) = 15
x = 15/9 = 1,667
Risposta
x = 1,667
y = 0
7.Equazioni differenziali
Risposta: y(0.5) = 0,9399
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.
Radici caratteristiche
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
Costanti dai valori iniziali
A + B = 2, −3A − 5B = 1
A = 5,5, B = −3,5
Calcola
y(0,5) = 5,5·e−1,5 + (−3,5)·e−2,5 = 0,9399
Risposta
y(0,5) = 0,9399
8.Equazioni differenziali
Risposta: y(2) = 2,404
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Fattore integrante
μ = e0,5t
(e0,5ty)′ = 4e−1,5t
Soluzione generale
y = 4/(−1,5)·e−2t + C·e−0,5t = −2,667·e−2t + C·e−0,5t