Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.
Successioni e serie
Successione aritmetica
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Successione geometrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Serie geometrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie armonica generalizzata
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del rapporto
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raggio di convergenza
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio di Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie di Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Maggiorazione di Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metodo
Individua il tipo: aritmetica (differenza costante), geometrica (ragione costante), una serie notevole, una serie di potenze o un polinomio di Taylor.
Per le somme usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), oppure S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, con a₁ il primo termine della somma.
Per la convergenza: prima il criterio del termine n-esimo, poi confronta con Σ1/kᵖ o con una serie geometrica, e usa il criterio del rapporto o della radice per fattoriali e potenze k-esime.
Per i polinomi di Taylor elenca f(a), f′(a), f″(a), …, dividi la derivata k-esima per k!, e maggiora l’errore con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrici e determinanti
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa di una 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Prodotto
(AB)ij = Σk AikBkj
Autovalori
det(A − λI) = 0
Regola di Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equazioni differenziali
Crescita/decadimento esponenziale
dy/dt = ky → y = y0ekt
Tempo di dimezzamento
k = ln 2 / t½
Legge di raffreddamento di Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fattore integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Esercizi
1.Metodi numericiMedia
Approssima ∫01 1/√(1 + x⁴) dx con la regola di Simpson usando n = 2 strisce. Dai S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
2.Metodi numericiDifficile
Esegui un passo del metodo classico di Runge–Kutta (RK4) con h = 0,5 per y′ = cos t − y, y(0) = 3. Trova y₁ ≈ y(0,5).
y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5
y1 =
3.Successioni e serieMedia
Trova la somma S = Σk=1∞ 3/(k(k + 1)).
ak = 3/(k(k + 1))
S =
4.Successioni e serieDifficile
Trova il coefficiente c₃ di (x − 3)³ nella serie di Taylor di f(x) = ln x attorno ad a = 3.
f(x) = ln xa = 3k = 3
c₃ =
5.Matrici e determinantiMedia
Sia C = AB per le matrici mostrate. Trova l'elemento c22 (riga 2, colonna 2).
A = [0 1; 3 2]B = [−6 3; 4 −4]
c22 =
6.Matrici e determinantiDifficile
Risolvi il sistema 3x + 6y = 10 e −4x + 3y = −12. Trova x.
3x + 6y = 10−4x + 3y = −12
x =
7.Equazioni differenzialiMedia
Una tazza di caffè a 94 °C viene lasciata in una stanza a 21 °C. Dopo 22 min la sua temperatura è 31 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 50 °C?
T0 = 94 °CTa = 21 °CT(22) = 31 °CT = 50 °C
t = min
8.Equazioni differenzialiDifficile
Un serbatoio contiene 400 L di acqua pura. Una salamoia con 0,05 kg di sale per litro entra a 2 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 5 min?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3Soluzioni
1.Metodi numerici
Risposta: S = 0,9313
Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.
Nodi e valori
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,970143 + 0,707107 = 5,587677
Regola di Simpson
S = (0,5/3)·5,587677 = 0,9313
Risposta
S = 0,9313
Questo integrale non ha una primitiva elementare, ed è proprio allora che serve una regola numerica.
2.Metodi numerici
Risposta: y1 = 2,195
Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.
Convergenza: se i termini non tendono a 0 la serie diverge (criterio del termine n-esimo). Σ1/kᵖ converge solo per p > 1, e Σrᵏ solo per |r| < 1. Confronta una serie con una di queste quando i suoi termini si comportano come loro per k grande. Criterio del rapporto: L = lim |ak+1/ak|; criterio della radice: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 non decide nulla. Una serie di potenze Σck(x − x₀)ᵏ converge per |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie a segni alterni con termini decrescenti a 0 converge.
Fratti semplici
3/(k(k + 1)) = 3·(1/k − 1/(k + 1))
Annulla
S = 3·1 = 3
Risposta
S = 3
4.Successioni e serie
Risposta: c₃ = 0,01235
Polinomi di Taylor: vicino a x = a una funzione regolare è approssimata da Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; per a = 0 questo è il polinomio di Maclaurin. Serie notevoli: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Maggiorazione del resto di Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dove M è il massimo valore di |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tra a e x.
Derivata f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 2/x³
Coefficiente
c₃ = f⁽³⁾(3)/3! = 2/(3³·6) = 0,01235
c₃ = 0,01235
Risposta
c₃ = 0,01235
5.Matrici e determinanti
Risposta: c22 = 1
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Riga per colonna
c22 = 3·3 + 2·(−4) = 1
Risposta
c22 = 1
6.Matrici e determinanti
Risposta: x = 3,091
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Determinante della matrice dei coefficienti
det A = 3·3 − 6·(−4) = 33
Sostituisci la colonna di x
det Aₓ = 10·3 − 6·(−12) = 102
x = 102/33 = 3,091
Risposta
x = 3,091
y = 0,1212
7.Equazioni differenziali
Risposta: t = 10,22 min
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Costante di raffreddamento
k = ln(73/10)/22 = 0,09036 min⁻¹
Tempo per raggiungere la temperatura desiderata
t = ln(73/29)/0,09036 = 10,22 min
Risposta
t = 10,22 min
8.Equazioni differenziali
Risposta: m = 0,4938 kg
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Imposta l’equazione
dm/dt = 2·0,05 − (2/400)·m = 0,1 − 0,005·m
Risolvi
Il fattore integrante è ert/V; la soluzione tende all’equilibrio c·V.