Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Cariche di +3 µC e +10 µC distano 50 cm. A quale distanza x dalla carica di +3 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?
q1 = +3 µCq2 = +10 µCd = 50 cm
x = cm
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Due palline identiche, ciascuna di massa 8 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 30 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 12° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 30 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR2 in R2.
V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 ΩR5 = 25 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.Transitori RC e RLDifficile
L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore vC in t = 1000 ms.
Vs = 20 VR1 = 6,8 kΩR2 = 4,7 kΩC = 220 µFt = 1000 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Una bobina di 20 spire, area 50 cm² e resistenza 4 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0 T a 0,5 T in 500 ms. Trova la corrente indotta media I.
N = 20A = 50 cm²B: 0 T → 0,5 TΔt = 500 msR = 4 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Una bobina di 500 spire, 8 cm × 20 cm, ruota in un campo uniforme di 0,25 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 222,1 V?
N = 500A = 8 cm × 20 cmB = 0,25 TErms = 222,1 V
n = rpm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie ha R = 15 Ω, L = 10 mH e C = 0,1 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.
R = 15 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF
B = Hz
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: x = 17,69 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Campi uguali
3/x² = 10/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(10/3) = 1,826
Posizione
x = 50/(1 + 1,826) = 17,69 cm
Risposta
x = 17,69 cm
Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: q = 169,9 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Forza elettrica dall’equilibrio
La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.
F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 12° = 0,01668 N
Distanza
r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 12° = 0,1247 m
Carica
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1247·√(0,01668/8,99 × 10⁹) = 1,699 × 10⁻⁷ C = 169,9 nC
Risposta
q = 169,9 nC
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,3596 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 6 + 15 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 4·21/(4+21) = 3,36 Ω
Req = R1 + 3,36 = 20 + 3,36 = 23,36 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 10/23,36 = 0,4281 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,4281·20 = 1,438 V
IR2 = VA/R2 = 1,438/4 = 0,3596 A
Risposta
IR2 = 0,3596 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 3,173 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 25 + 15 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 13,33 Ω
R3 + 13,33 = 16,33 Ω
R2 ∥ 16,33 = 1,782 Ω
Req = R1 + 1,782 = 2 + 1,782 = 3,782 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 12/3,782 = 3,173 A
Risposta
IR1 = 3,173 A
5.Transitori RC e RL
Risposta: i = 0,1012 A
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo e corrente finale
Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.
τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0,6912 ms
i(∞) = Vs/R = 9/68 = 0,1324 A
Corrente all’istante dato
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,1324·(1 − e−1/0,6912) = 0,1012 A
Risposta
i = 0,1012 A
6.Transitori RC e RL
Risposta: vC = 3,108 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Tensione iniziale del condensatore
A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.
vC(0) = 20·4,7/(6,8 + 4,7) = 8,174 V
Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore
τ = R2·C = 4,7·220 = 1034 ms
Scarica
vC(t) = 8,174·e−1000/1034 = 3,108 V
Risposta
vC = 3,108 V
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: I = 25 mA
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variazione di flusso per spira
ΔΦ = (0,5 − 0)·0,005 = 0,0025 Wb
F.e.m. media
ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0025/0,5 = 0,1 V
Corrente
I = ε/R = 0,1/4 = 0,025 A
Risposta
I = 25 mA
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: n = 1500 rpm
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
F.e.m. di picco
E₀ = √2·Erms = 314,1 V
Velocità angolare
ω = E₀/(NBA) = 314,1/(500·0,25·0,016) = 157 rad/s
Giri al minuto
n = 60·157/(2π) = 1500 rpm
Risposta
n = 1500 rpm
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 0,1758 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (54,87)²) = 56,89 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 10/56,89 = 0,1758 A
Risposta
I = 0,1758 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: B = 238,7 Hz
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Frequenza di risonanza
f0 = 1/(2π·√(0,01·0,1·10⁻⁶)) = 5033 Hz
Fattore di qualità
Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,01/(0,1·10⁻⁶)) = 21,08
Larghezza di banda
B = f0/Q = 5033/21,08 = 238,7 Hz
Risposta
B = 238,7 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism