Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++2 µC−−3 µCP50 cm

Una carica di +2 µC e una carica di −3 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 30 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +2 µCq2 = −3 µCr1 = 30 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
6 cm6 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +1 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 6 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 6 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 1 µC a 6 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 4 µCq2 = 1 µCq3 = 6 µCr13 = 6 cmr23 = 6 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​15 Vt = 0R = 20 ΩL47 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 5 ms.

Vs = 15 VR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​15 Vt = 0R = 6,8 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 20 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 200 ms.

Vs = 15 VR = 6,8 kΩC = 100 µFvC(0) = 20 Vt = 200 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
dB/dt < 0I = ?

Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. L’intensità del campo sta diminuendo. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.

B: verso l’interno della paginadB/dt < 0
  1. 1oraria
  2. 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 1500 rpm8 cm × 25 cmN = 20B = 0,2 T

Una bobina di 20 spire, 8 cm × 25 cm, ruota a 1500 giri/min in un campo uniforme di 0,2 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.

N = 20A = 8 cm × 25 cmB = 0,2 Tn = 1500 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Vf0​ = 5000 HzRL = 10 mHC = ?

Un circuito RLC serie con L = 10 mH deve entrare in risonanza a 5000 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f0 = 5000 HzL = 10 mH
C = µF
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
100 V60 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 80 ΩC = 47 µFI

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 15 ΩR2 = 80 ΩC = 47 µF
I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 874028 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,3² = 199778 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,2² = 674250 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |199778 + 674250| = 874028 N/C

Risposta

E = 874028 N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 61,78 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·4·6 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N
F2 = k·1·6 × 10⁻¹²/0,06² = 14,98 N

Somma vettoriale

F = √(59,93² + 14,98²) = 61,78 N

Risposta

F = 61,78 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,777 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​20 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6,97 Ω
Req = R1 + 6,97 = 2 + 6,97 = 8,97 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 10/8,97 = 1,115 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,115·2 = 7,77 V
IR2 = VA/R2 = 7,77/10 = 0,777 A

Risposta

IR2 = 0,777 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 3,488 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 5,217 Ω
R3 + 5,217 = 7,217 Ω
R2 ∥ 7,217 = 5,601 Ω
Req = R1 + 5,601 = 3 + 5,601 = 8,601 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/8,601 = 3,488 A

Risposta

IR1 = 3,488 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,6607 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms
i(∞) = Vs/R = 15/20 = 0,75 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,75·(1 − e−5/2,35) = 0,6607 A

Risposta

i = 0,6607 A
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 18,73 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(200) = 15 + (5)·e−200/680 = 18,73 V

Risposta

vC = 18,73 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: oraria

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso

Il flusso uscente dalla pagina aumenta, oppure il flusso entrante nella pagina diminuisce.

Campo della corrente indotta

La corrente indotta si oppone alla variazione.

Campo indotto all’interno della spira: entrante nella pagina.

Verso della corrente

Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.

oraria

Risposta

oraria
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E0 = 12,57 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
A = 0,02 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 20·0,2·0,02·157,1 = 12,57 V

Risposta

E0 = 12,57 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 0,1013 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,01) = 0,1013 µF

Risposta

C = 0,1013 µF
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,782 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 26,58 − j37,68 Ω

Impedenza totale

Z = 15 + 26,58 − j37,68 = 41,58 − j37,68 Ω
|Z| = √(41,58² + 37,68²) = 56,12 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 100/56,12 = 1,782 A

Risposta

I = 1,782 A

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